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哈尔滨中雨
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哈尔滨多云
20℃~27℃东...忘掉估值和融资，穿过山林找到水流 | 黑马创业36招
李佳宇 | 伙伴基金创始人、北京微赢互动科技有限公司CEO。
活动：根据李佳宇在黑马学吧课程 ——“黑马创业36招”演讲整理，笔记侠作为合作方，经主办方与嘉宾审阅授权发布笔记。PPT来自嘉宾。
责编 | Even
深度好文：7128字 | 9分钟阅读
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创业者如何与投资人谈估值？关键词：“创业者、投资人、如何谈”。这件事情，我们如果把创业者本身理解清楚，投资人理解清楚，那么如何谈，再加上一些技巧，我们应该就会把这件事情做得很完美了。
一、认清创业者
我们先了解一下什么是创业者，很多人在创业的过程中，其实并没有完全认清自己。什么是创业者？创业者的定义到底是什么？
我列举三个解释：
第一个是百度百科的解释，创业者是指某人发现某种信息资源、机会，或者掌握某种技术，或者借用相应的平台、载体将其发现的信息资源、机会或掌握的技术，以一定的方式转化，创造更多的财富价值，并实现某种追求过程的人。
第二个创业者被定义为组织、管理一个生意或者企业并承担风险的人。
第三个经济学家1755年的时候首先引入这个名词，著名的经济学家熊彼特认为创业者因为创新者具有发现和引入新的、更好的、能赚钱的产品符合这个过程的能力。
这三个定义的关键词其实阐述的是“财富、赚钱、生意、风险”。创业者的定义就已经告诉我们了，创业应该从赚钱开始，创业应该从生意开始。我自己一路都是从一点一滴所有赚钱的项目开始的，积累到今天，我的公司IPO成功，包括公司现在几百人的规模，我从来没有做过一个烧钱或者亏钱的项目，当然了亏钱的也被我三个月之内就砍掉了。
很多人看不起生意，说佳宇你怎么成天谈钱？你怎么没有梦想、没有理想？我们看看大咖们怎么说？
蔡文胜说：“创业者首先要赚钱。”
孙陶然说：“烧钱的商业模式不适合绝大多数创业者。”
阎焱说：“创业的首要目的就是为了赚钱。”
今天很多各大新闻媒体动不动就说哪个公司烧钱的模式很崇拜，比如滴滴、摩拜，其实这不具有典型的代表性，他们只是中国创业者中的万分之一，甚至十万分之一，甚至百万分之一的代表。
也就是说创业其实有两条路，一种是烧钱，一种是脚踏实地。烧钱这种方式就像孙陶然说的，成功率九死一生。还有一条路它的成功概率会更高，就是从赚钱开始。那么我们何不从赚钱开始呢？
有句古话说得好，“不想当将军的士兵不是好士兵”，你得谈社会责任、理想、梦想。我在之前的演讲上经常说一句话：“梦想我也有，但是我不希望死在通往梦想的路上”，因为死在这条路上了再也没有机会了。
其实这些大咖们所说的话都是一个意思，就如马云也说过：“今天很残酷，明天更残酷，后天很美好，但大部分人死在明天晚上。”
也就是说你走了融资这条路，种子、天使、Pre A、A、A+ 、B、B+、C、D、E、F，任何一轮断掉了，你都会死掉。也就是说从融资这天开始，你的生死命脉并不掌握在自己手里，而是放在了他人的手里。
“不想当将军的士兵不是好士兵”，但是我要问大家，什么人才能当将军？将军打了所有的战役，最后死在战场上了，你再有理想当将军也只能是烈士，而最后当了将军的士兵都是在前面所有打过的战役中，活着回来了。他不是仗打得好，是躲得好。他选择了一条不一定把别人打死，但是我自己活下来，留着命以后当将军。那些天天嚷着当将军的，最后变成了烈士。
在这个过程中，创业者常犯的错误又有哪些呢？关键是要认清自己。
第一，没有协作者；
没有协作者这件事情就像马云说的一句话，“很多公司是超人公司，老板是超人，老板在、公司牛逼，老板死了、公司就死了”，这叫超人公司。
很多创业者没有意识到这个问题，创业的三部曲第一部叫独上高楼，望尽天涯路，其实就是迷茫期。有的企业家说我当时就是这样想的，我才不信。
所有的企业家从最开始的时候都没想清楚，马云做翻译社的时候也没想到今天有阿里巴巴，他做中国黄页的时候也没想到今天有淘宝。
宗庆后当时承包了一个工厂，代销汽水，说孩子们要喝汽水，我赚点儿钱，他也没有说以后要做一个娃哈哈集团；
柳传志也是从卖一个电脑开始，而且卖的是别人的电脑，从香港包了一些货，也没有想过自己要做生产制造。
他们都是从生意开始的。
迷茫是什么？就是在森林迷了路。有些人迷路了，第一件事情就是爬树，为什么？因为我在原地只能看到一公里，爬到十米树，我能看见两公里外，看看能不能看到路。还有人会再往上爬，爬到树顶，能看到五公里范围外，也不一定看得到路。如果这个树林足够茂密、足够大的话，你看不见路在哪里。
还有一种人，是选择找水。其实我就是这样的人，别人问我会什么？我什么都不会，运营、技术不会，产品不懂，但是我知道找水。为什么？天上下雨的时候，我跟着雨水走，雨水会汇到小溪，小溪汇到小河，小河汇到长江，长江汇到大洋。你要知道走出这片森林只有一个办法，就是走到大洋。我到海洋了总不能再有树了吧？我走到了海洋，那就说明我肯定走出了这片森林。
因为聪明人都会这么想。
图片来源：千图网
我沿着雨水走，在走到小溪的时候碰见了几个人，发现他们也是这么想的，而且这些人跟我目标方向是一致的，都要找到海洋，同时还有一些人跟我互补。我发现有一个人会打猎，有一个人会钻木取火。如果我只跟打猎的那个人往下走，能走三天，为什么？冻死了。如果我只跟着钻火的人走，最多能走七天，为什么？饿死了。
但是我如果跟着他们一起走，有一个生火的，我不至于冻死，又有一个会打猎的，我不至于冻死。我走着走着走到了小溪，当我从小溪走到小河的时候，我发现我又遇到了一群人。这些人中有的能辨别动物的脚印，让我避免被狮子咬死，有的能看地形，让我别踩进了沼泽。这些危险都是你的协作者或者你的合作伙伴告诉你的。
在这个过程中很多人犯了这个错误，不懂得找协作者。很多人说自己很牛逼。我说你的团队持股比例如何？他说我百分之百持股。我问那他们呢？他说他们都是我的员工。这样的团队我基本不投，你连一个合作伙伴、分享精神都没有，你连自己身上的缺点都没看到。
我强调要认清自己，要知道自己的缺点。比如我找合伙人很简单，我发现自己坐不住凳子，我天天要出去跟别人打交道。我的合伙人是怎样的？早上九点钟到公司，一直坐到晚上九点，屁股都不动一下；吃饭都吃盒饭，都不会跑出公司，这样我就是跟他互补。
怎么理解？小到过日子还要两口子，大到国家还要国家主席和总理。
因此，协作者和合作人对于创业的初期是非常重要的。你的合伙人能不能跟你互补？能不能跟你在这条走向大洋创业的路上帮你调整你的错误，给你直言纳谏，建议不走弯路？能不能帮你找到各种各样可能踩进去的坑？这都是你的合作伙伴可以发挥的。
第二，想太多、太远，只有大目标，没有小目标；
一些创业者上来就说我要做中国的马云，我要做中国的京东，我要做中国的陌陌，这些都是想太远了。
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有一个APP叫影视圈，创始人找我融资。他说横店现在招群众演员都是贴小广告，于是他们做了个APP后，剧组找群众演员都在APP上发目标，群众演员在APP上领任务。这是很好的一个商业模式。
但等他再给我讲BP的时候，说他们把横店已经拿下，接下来能干影视经纪公司，还可以找大咖，剧组拍完了就让他给我们做培训，这个培训不但可以线下办班，还可以线上直播。这就是在线教育，还拥有大数据，还可以开影视艺术培训学校，还可以开明星经纪公司，我就是下一个华谊兄弟。
我的回答是：这所有的基础是先把剧组招聘群众演员这件事情干到中国第一。你刚才讲的所有的东西都不要做，如果中国所有影视基地的剧组全用你这个APP，你就已经很牛逼了。
过了一个月还是两周，他和我说：李哥，我觉得你说得对，我现在把我所有的想法全部砍掉了，就干这一件事情。
当你把一件事情专注干好的时候，把眼前当下的事情干好的时候，很多东西自然而然就来了。但是很多创业者在创业初期的时候想这后面是大数据、在线教育、O2O、OFO，所有伟大的创业者在最开始的时候从来没这样想过的。
张小龙在做微信的时候从来没想微信以后能打车、买彩票、做游戏中心，张小龙在做微信的时候只想一件事情，就是大家用这个东西来聊天。只要大家能把它用来聊天，认为聊天时这个东西最爽的话就够了。
就像张小龙跟马化腾悠悠地说我要开发一个QQ邮箱，马化腾问盈利点呢？张小龙说没想过，你给我八年的时间不盈利行不行？马化腾也没办法，允许了，现在QQ邮箱第一。
第三，只看表面，看不到本质，自以为是；
这里的伪命题是羊毛出在了猪身上，由狗来买单，最后都不是这个人本来有的。瑞星进入中国后为什么会死得这么惨？中国就不喜欢软件付费，中国老百姓从出生那天开始，从用window95开始一直到XP都是免费的，从来没有付过钱，所以周鸿祎跑过来说免费。现在金山、瑞星怎么样了？360是85%的市场占有率。
中国有中国的特色，所有的商业模式进到中国来要了解中国的人性、中国社会，以及中国的法律法规，你要用中国的人的思想去理解，不能照搬商业模式。
第四，追求后真相；
以前我把它叫做竹桶的短板效应，现在用一个流行的词叫追求后真相。什么叫后真相？就是真相没有意义，或者真相根本就不存在。
相信很多创业者经常会做这样的事情：当业务已经一年2千万利润，或者觉得发展得很好了，就去开展其它的外延式业务。
当外延式业务没有干好，通常会开始分析为什么没干好的原因。如果动力不足，给20%的股份；业务能力还可以，管理不够，就配个管理能力强的小张。最后还是不行。为什么？因为他有十个缺点，你找到了九个，还差一个没找到，这就符合竹桶的短板效应，水只能装这么多。
这个时候通常又会发现一个特别有意思的现象：在一个不知名的角落里面，有那么四、五个小孩没钱，又没资源，又没品牌，只干一件事情，一年赚了40、50万。
我们经常会遇到这样的情况，你先不要研究自己的东西为什么是坨屎，再研究人家的东西为什么牛逼。你只要把他弄过来就完了，让他来帮你干，无非就是条件、代价、利益的关系。为什么自己还要做呢？你肯定要让牛逼的人来干。
举个例子：
团队可能有1万个缺点，甚至1亿个缺点，但是就有一个优点很牛逼，能把所有的东西都覆盖掉。你今天没做好，因为你没看到人家那个牛逼的地方，或者你看到了、看不懂，或者你看到了、看懂了，之后你做不到。无非就是这些，甚至大多数情况下，只看到表面，没看到本质。
就像很多女人一样，你发现眼睛拿出来不好看，单看嘴巴也不好看，单看鼻子也不好看，你把它们合在一起就好看了。有的甚至脸也不好看，但一白遮十丑，很多姑娘长得不好看，但是人家白、胸大就有人追，一个优点覆盖掉所有的缺点。
第五，选择对抗；
什么是选择对抗呢？很多人会犯这种错误，不知不觉就会选择对抗。
前两天有一个团队跑过来找我，说看到了INS这种社交的APP在中国还没有，想要在中国做一个。他在选择对抗，为什么？INS这个社交软件，你说今天没人做，在中国可以火。这说明：
第一，你的眼界小；
第二，只看表面。
其实中国现在有很多社交软件，包括视频、直播、交友，比如探探，他们已经发现了这种商业模式，只不过把它引入中国时加入了本土化的因素。你必须改良，因为中国没有那么好的诚信体系，中国人的素质没有那么高。
摩拜单车在美国有那么高的维修率吗？没有，有那么多的人把它推到家里吗？没有。中国有反垄断法吗？有。BAT公司就很强大，因为反垄断法其实还不太完善。
美国有多少公司每年干的事情就是告一下微软，为什么？你捆绑了IE，我是做浏览器的，赔我2千万。然后把钱花光了，我再告你垄断。每年赔2千万，中国没有，因此中国有中国特殊的东西，必须入乡随俗。
如果你就是在做这样的东西，你是在对抗。
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第六，清楚自己的基因很重要。
很多人会忽视到这个，你自己的基因是什么？你擅长什么？
BAT哪个公司不比咱们牛逼？无论财力、物力、人力、经验、品牌、号召力，都比咱们牛逼。
腾讯是产品基因，所以腾讯能做出QQ，微信；微信这个东西也有很多家尝试，阿里巴巴也想做个IM，现在放弃了。
新浪是媒体基因，新浪微博这个东西谁做不出来？那个东西从技术角度有什么技术含量？当时搜狐、腾讯也出微博了，最后为什么只有新浪把微博做好？因为微博是一个媒体属性，微博是自媒体，新浪人是媒体人，所以新浪把微博做好了，其它家没有做好。
阿里是电商属性，腾讯也去做电商了，搞了一个拍拍网，投了6亿美金，没搞起来。这么大型的公司都有基因，何况小公司？
二、认清投资人
为什么要这样分享？因为只有知己知彼，百战不殆。认清自己以后，要认清投资人。
投资人的定义是什么？投资人的方法是什么？他们是怎么工作的？你不把了解清楚，就不知道怎么跟他谈，怎么跟他们融资。
投资人的定义是什么？
“投资者的工作是以盈利为目的的，聪明地承担风险。”这是霍华德·马克思说的话。
关键词是盈利、聪明、风险。就是我要赚钱，但是我又要尽可能地越小承担风险，最好是没风险。你让投资人觉得我还能赚钱，又没有风险，你说他投不投你？肯定投你。
怎么让他觉得你又能赚钱，又没有风险？
阶段性退出，这是一个手段。阶段性退出，投资人怎么盈利？盈利只有两个方式。
第一个，天使轮投你，在A、B轮退出。
第二个，你并购上市，或者IPO，或者卖给哪家公司时，退出。
只有这两种方式。他投你的钱靠分红是分不回去的，他只有靠阶段性退出，你一定要给他提供一个阶段性退出的机会。你要站在他的角度为他想，因为他天天想的事情就是我投了你，不挣钱肯定要挨骂，或者是我自己赔钱了。我如何又能盈利，又承担少的风险？你要给他路，路是什么？
比如，你可以说：王哥，你投我，我认为我一年之后能有1亿或者5千万的估值。接下来你就跟他讨论这5千万的估值用一年的时间能不能做到，你让他相信你能做到，他就投你了，就是这么简单的一件事。
假如这个人特别纠结、特别犹豫，说你这个东西是挺好的，但是我又觉得有点儿风险。那么选择第二种方式：咱们对赌，不行我赔你。
这是我投资时的一个策略，因为我自己创过业，又做过投资人，所以我知道两个角色。我做投资人的时候会知道，我在创业的时候提的那些问题好傻，因为我当时不知道投资人怎么想。比如我现在投资一个项目，会发现有点儿风险，但是又觉得这个项目还行，因为至少这个项目不够满分的话，创始人足够打动我。
那么怎么打动投资人？
1、核心价值
有的时候我投一个公司，不是觉得这个公司真的好，其实是一个产业布局。你有没有一些东西是被人家所利用的？这点也很重要。
2、团队光环
写BP的时候，有的人特别有意思，把自己团队放在第一页，我说你太不谦虚了，一般团队介绍都放在后面。当然也有放在前面的，什么样的人放在前面？很简单，只要投资人说我看了一下，不用往下看了。周鸿祎出来创业了，马化腾、马云说要创业，后面不用看肯定投了。所以你的团队光环也很重要。
3、名人背书
投资首先要解决的是一个信任的问题，你会发现你跟一个陌生投资人对话时，其实你说的每一句话投资人都在质疑，因为你们之间没有信任基础。所以你说的所有东西投资人都要想想。
你说这个东西要爆发，投资人会问这要烧多少钱，风险有多大？你说这个东西能盈利，投资人会想是不是数据造假？你说从1万用户到10万用户只花了5天时间，投资人会想吹牛逼吧？投资人真的是这么思考问题的。
4、让他知道我盈利了
你直接告诉投资人我挣钱了，不但挣钱还持续翻倍增长。这也是你降低投资人风险的方式。
这些都是你提高融资成功率的一些手段。
其实我是希望大家最好不要融资。融资并不代表成功，有多少公司是因为融完资死了的？很多公司融资之前活得好好的，可以挣钱，小日子过得又幸福、又开心、又美满。
融资是一把双刃剑，为什么？
第一，为了融资而融资；
第二，压力变大，技术动作变形；
当投资商真正进来的时候，你会发现他会给你压力，原来天马行空的想法已经不复存在了，你要脚踏实地地开始干活。你会发现投资商进来之后一开始说要业绩，后来要的是业绩的增长，慢慢又会发现他要的是业绩的持续增长，到最后他要的是业绩大规模的持续增长，你的压力就很大了。
第三，没有经验的创业者们，在股份不断被稀释的过程中，最后没有动力了。
我今天讲的东西是针对天使轮或者是Pre A，或者是种子期之前的融资。如果你走到了A轮以后，后面会有专业级的FA和你的投资商帮你完成，而且那时候你也懂了，我不需要再去普及后面的知识，我现在就普及的是天使轮、种子期，包括Pre A期融资的技巧和方案。
三、如何谈估值？
估值既是谈的，也不是谈的，这是一个很矛盾的话题。
估值只有两种方法。
什么叫估值？估值就是价值，一个公司的价值。
什么叫价值？价值和价格的关系，价格是价值的货币表现形式，价值是价格的基础，价格围绕价值上下波动。
第一种估值的方式是拍脑袋，当一堆人都抢着要投你的时候，就是你拍脑袋。你牛逼，你是被动接受的，一堆人会主动找你。
但大多数情况下是我们去找投资人要钱，这个时候不要计较估值高不高。估值方法包括绝对估值法、相对估值法、市盈率法、PE法等，就是一个讨价还价的过程。因为投资人自己脑子里也在算账，这件事情怎么做呢？关键一点是不要计较估值，要看自己需要多少钱，这才是本质。
我可能不是高大上的创业者，我是最接地气的创业者，我在创业的过程中不会选择烧钱的路线，我选择的是生意。我从最简单的的创业开始，从最简单的生意逻辑开始，从最简单的赚钱单位生意开始，我去赚钱，我发现这一条路更适合于刚刚起步创业者。
下一期是胡翔在“黑马学吧”为大家讲解作为一个初创公司的创业者，怎样选择行业方向？从投资人的角度看，什么样的企业才能入我们“法眼”？怎样组建一个有效的团队？如何拿到第一笔融资？感兴趣的话可以去听听。
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今日搜狐热点&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-4d553bb5531_b.jpg& data-rawwidth=&933& data-rawheight=&434& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&933& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-4d553bb5531_r.jpg&&&/figure&&p&【已完成】&/p&&p&今天要解决一个问题，为什么全体自然数的和是 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=-%5Cfrac%7B1%7D%7B12%7D& alt=&-\frac{1}{12}& eeimg=&1&& 呢？&/p&&p&&br&&/p&&p&写这篇文章的目的有两个：&/p&&p&一是我本学期在学复分析，写这篇的同时权当复习。&/p&&p&二是近来，我在知乎的若干回答下看到有人拿“全体自然数的和是负十二分之一”说事，说的那叫一个“有理有据”，钓到了大批的赞。据我观察，这些人大多只是听说过此结论，却并不知道其背后的意义、用到的方法，更不要提证明过程了。换言之，许多人不懂装懂，借此装B。写这篇文章，是希望让更多人明白，这个看似神奇的等式：&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=1%2B2%2B3%2B%5Ccdots%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7B12%7D& alt=&1+2+3+\cdots=-\frac{1}{12}& eeimg=&1&&&/p&&p&其背后，是丰富、严格的数学内容，而不是什么“梗”或者网络迷因。（也顺便打一打装B犯的脸，劝诫你们踏实学习，少装B，不然会落到我这个境地……）&/p&&p&&br&&/p&&p&阅读本回答，你至少需要具备以下的数学水平：数学分析/高等数学、一些复数的基本知识（复变函数前三章即可）、知道Fourier级数、听说过Fourier变换、听说过 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5CGamma& alt=&\Gamma& eeimg=&1&& 函数与 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Czeta& alt=&\zeta& eeimg=&1&& 函数。&/p&&p&===============================&/p&&p&目录：&/p&&p&【第一部分：Riemann &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Czeta& alt=&\zeta& eeimg=&1&& 函数】&/p&&p&【第二部分：Mellin变换】&/p&&p&【第三部分：Poisson求和公式】&/p&&p&【第四部分：这是最后的斗争】&/p&&p&===============================&/p&&p&【第一部分：Riemann &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Czeta& alt=&\zeta& eeimg=&1&& 函数】&/p&&p&我们知道，一个级数 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty+a_n& alt=&\sum_{n=1}^\infty a_n& eeimg=&1&& 的值，定义为部分和的极限 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Clim_%7BN%5Crightarrow%5Cinfty%7D%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5ENa_n& alt=&\lim_{N\rightarrow\infty}\sum_{n=1}^Na_n& eeimg=&1&& 。因此自然数的和 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty+n%3D%5Clim_%7BN%5Crightarrow%5Cinfty%7D%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5ENn%3D%5Clim_%7BN%5Crightarrow%5Cinfty%7D%5Cfrac%7BN%28N%2B1%29%7D%7B2%7D%3D%2B%5Cinfty& alt=&\sum_{n=1}^\infty n=\lim_{N\rightarrow\infty}\sum_{n=1}^Nn=\lim_{N\rightarrow\infty}\frac{N(N+1)}{2}=+\infty& eeimg=&1&& ，是正无穷。所以 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty+n%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7B12%7D& alt=&\sum_{n=1}^\infty n=-\frac{1}{12}& eeimg=&1&& 是错的，本文完结。&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&骗你的。&/p&&p&数学上经常有这样的操作：如果定义不够使用，就推广定义；如果推广以后仍然不能满足数学家的野心，那就修改定义；如果还不行，就抛弃这个定义。现在我们就抛弃级数。&/p&&p&考虑Riemann &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Czeta& alt=&\zeta& eeimg=&1&& 函数： &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Czeta%28z%29%3D%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%5Ez%7D%5Cquad%28Re%28z%29%3E1%29& alt=&\zeta(z)=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^z}\quad(Re(z)&1)& eeimg=&1&& 。&/p&&p&设 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=z%3Dx%2Biy& alt=&z=x+iy& eeimg=&1&& ，若 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=x%3E1& alt=&x&1& eeimg=&1&& ，则 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty%5Cleft%7C%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%5Ez%7D%5Cright%7C%5Cleq%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%5Ex%7D%3C%2B%5Cinfty& alt=&\sum_{n=1}^\infty\left|\frac{1}{n^z}\right|\leq\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^x}&+\infty& eeimg=&1&& ，故 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Czeta%28z%29& alt=&\zeta(z)& eeimg=&1&& 收敛。且 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Czeta%28z%29& alt=&\zeta(z)& eeimg=&1&& 在 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5C%7Bz%5Cin%5Cmathbb%7BC%7D%3ARe%28z%29%3E1%5C%7D& alt=&\{z\in\mathbb{C}:Re(z)&1\}& eeimg=&1&& 的紧子集上一致收敛。（原因：对于 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5C%7Bz%5Cin%5Cmathbb%7BC%7D%3ARe%28z%29%3E1%5C%7D& alt=&\{z\in\mathbb{C}:Re(z)&1\}& eeimg=&1&& 的紧子集 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=K& alt=&K& eeimg=&1&& ，存在 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvarepsilon%3E0& alt=&\varepsilon&0& eeimg=&1&& ，使得在 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=K& alt=&K& eeimg=&1&& 上恒有 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=Re%28z%29%3E1%2B%5Cvarepsilon& alt=&Re(z)&1+\varepsilon& eeimg=&1&& ，从而在 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=K& alt=&K& eeimg=&1&& 上有控制级数 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%5E%7B1%2B%5Cvarepsilon%7D%7D& alt=&\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^{1+\varepsilon}}& eeimg=&1&& ，用Weierstrass控制收敛定理。）&/p&&p&进一步地， &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Czeta%28z%29& alt=&\zeta(z)& eeimg=&1&& 在 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5C%7Bz%5Cin%5Cmathbb%7BC%7D%3ARe%28z%29%3E1%5C%7D& alt=&\{z\in\mathbb{C}:Re(z)&1\}& eeimg=&1&& 上解析。&/p&&p&&br&&/p&&p&我们想知道 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Czeta%28-1%29& alt=&\zeta(-1)& eeimg=&1&& 的值，因为按照“定义”， &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Czeta%28-1%29%5Csim%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%5E%7B-1%7D%7D%3D%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty+n& alt=&\zeta(-1)\sim\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^{-1}}=\sum_{n=1}^\infty n& eeimg=&1&& 。注意：这里及以后，用
&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%3D& alt=&=& eeimg=&1&& 表示真正的相等，用 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Csim& alt=&\sim& eeimg=&1&& 表示“形式上的”相等。目前， &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Czeta& alt=&\zeta& eeimg=&1&& 函数只对满足&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=Re%28z%29%3E1& alt=&Re(z)&1& eeimg=&1&& 的复数 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=z& alt=&z& eeimg=&1&& 有定义， &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Czeta%28-1%29& alt=&\zeta(-1)& eeimg=&1&& 是没有定义的。我们接下来的目标，就是用合理的方式，把 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Czeta& alt=&\zeta& eeimg=&1&& 函数的定义扩展到整个复平面（肯定不能再按照 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%5Ez%7D& alt=&\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^z}& eeimg=&1&& 定义，因为不收敛）。&/p&&p&===============================&/p&&p&【第二部分：Mellin变换】&/p&&p&首先回顾一下Fourier变换。设 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=f%3A%5Cmathbb%7BR%7D%5Crightarrow%5Cmathbb%7BC%7D& alt=&f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{C}& eeimg=&1&& 是一个函数，定义 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathcal%7BF%7Df%28x%29%3D%5Cint_%7B-%5Cinfty%7D%5E%7B%2B%5Cinfty%7Df%28t%29e%5E%7Bixt%7Ddt& alt=&\mathcal{F}f(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{ixt}dt& eeimg=&1&& ，称 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathcal%7BF%7Df%3A%5Cmathbb%7BR%7D%5Crightarrow%5Cmathbb%7BC%7D& alt=&\mathcal{F}f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{C}& eeimg=&1&& 为 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=f& alt=&f& eeimg=&1&& 的Fourier变换。&/p&&p&&br&&/p&&p&Mellin变换和Fourier变换类似，是一个积分变换。它把一个正实数 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbb%7BR%7D%5E%2B& alt=&\mathbb{R}^+& eeimg=&1&& 上的函数变换为一个 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbb%7BC%7D& alt=&\mathbb{C}& eeimg=&1&& 上的函数。设 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=f%3A%5Cmathbb%7BR%7D%5E%2B%5Crightarrow%5Cmathbb%7BC%7D& alt=&f:\mathbb{R}^+\rightarrow\mathbb{C}& eeimg=&1&& 是一个函数，定义&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathcal%7BM%7Df%28z%29%3D%5Cint_0%5E%7B%2B%5Cinfty%7Df%28s%29s%5Ez%5Cfrac%7Bds%7D%7Bs%7D& alt=&\mathcal{M}f(z)=\int_0^{+\infty}f(s)s^z\frac{ds}{s}& eeimg=&1&& ，称 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathcal%7BM%7Df%3A%5Cmathbb%7BC%7D%5Crightarrow%5Cmathbb%7BC%7D& alt=&\mathcal{M}f:\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}& eeimg=&1&& 为 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=f& alt=&f& eeimg=&1&& 的Mellin变换。&/p&&p&&br&&/p&&p&为什么要这么定义呢？考虑复Fourier变换（注意与之前的Fourier变换的区别和联系）&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Chat%7B%5Cmathcal%7BF%7D%7Df%28z%29%3D%5Cint_%7B-%5Cinfty%7D%5E%7B%2B%5Cinfty%7Df%28t%29e%5E%7Bzt%7Ddx& alt=&\hat{\mathcal{F}}f(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{zt}dx& eeimg=&1&& ，它把一个函数 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=f%3A%5Cmathbb%7BR%7D%5Crightarrow%5Cmathbb%7BC%7D& alt=&f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{C}& eeimg=&1&& 变换为 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Chat%7B%5Cmathcal%7BF%7D%7Df%3A%5Cmathbb%7BC%7D%5Crightarrow%5Cmathbb%7BC%7D& alt=&\hat{\mathcal{F}}f:\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}& eeimg=&1&& 。设&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=s%3D%5Cvarphi%28t%29%3De%5Et& alt=&s=\varphi(t)=e^t& eeimg=&1&&是从加法群 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbb%7BR%7D& alt=&\mathbb{R}& eeimg=&1&& 到乘法群 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbb%7BR%7D%5E%2B& alt=&\mathbb{R}^+& eeimg=&1&& 的群同构，它把 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbb%7BR%7D& alt=&\mathbb{R}& eeimg=&1&& 上的测度推到 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbb%7BR%7D%5E%2B& alt=&\mathbb{R}^+& eeimg=&1&& 上（ &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=dt%3D%5Cfrac%7Bds%7D%7Bs%7D& alt=&dt=\frac{ds}{s}& eeimg=&1&& ）。注意下面的图表：&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-4d7e8f7a5e9bc1b33d3bdb_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&336& data-rawheight=&308& class=&content_image& width=&336&&&/figure&&p&我们可以计算 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Chat%7B%5Cmathcal%7BF%7D%7D%28f%5Ccirc%5Cvarphi%29%28z%29%3D%5Cint_%7B-%5Cinfty%7D%5E%7B%2B%5Cinfty%7Df%28%5Cvarphi%28t%29%29e%5E%7Bzt%7Ddt%3D%5Cint_0%5E%7B%2B%5Cinfty%7Df%28s%29s%5Ez%5Cfrac%7Bds%7D%7Bs%7D%3D%5Cmathcal%7BM%7Df%28z%29& alt=&\hat{\mathcal{F}}(f\circ\varphi)(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(\varphi(t))e^{zt}dt=\int_0^{+\infty}f(s)s^z\frac{ds}{s}=\mathcal{M}f(z)& eeimg=&1&& ，因此 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Chat%7B%5Cmathcal%7BF%7D%7D%28f%5Ccirc%5Cvarphi%29%3D%5Cmathcal%7BM%7Df& alt=&\hat{\mathcal{F}}(f\circ\varphi)=\mathcal{M}f& eeimg=&1&& 。这样看来，Mellin变换只不过是“ &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbb%7BR%7D%5E%2B& alt=&\mathbb{R}^+& eeimg=&1&& 上函数的Fourier变换”而已。&/p&&p&&br&&/p&&p&我们找几个函数，来算一算他们的Mellin变换把。&/p&&p&1、&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=f_%7B%5Clambda%7D%28s%29%3De%5E%7B-%5Clambda+s%7D& alt=&f_{\lambda}(s)=e^{-\lambda s}& eeimg=&1&& ，&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathcal%7BM%7Df%28z%29%3D%5Cint_0%5E%7B%2B%5Cinfty%7De%5E%7B-%5Clambda+s%7Ds%5Ez%5Cfrac%7Bds%7D%7Bs%7D%3D%5Clambda%5E%7B-z%7D%5Cint_0%5E%7B%2B%5Cinfty%7De%5E%7B-s%7Ds%5E%7Bz-1%7Dds%3D%5Clambda%5E%7B-z%7D%5CGamma%28z%29& alt=&\mathcal{M}f(z)=\int_0^{+\infty}e^{-\lambda s}s^z\frac{ds}{s}=\lambda^{-z}\int_0^{+\infty}e^{-s}s^{z-1}ds=\lambda^{-z}\Gamma(z)& eeimg=&1&& 。&/p&&p&取 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Clambda%3D1& alt=&\lambda=1& eeimg=&1&& 我们就得到了著名的 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5CGamma& alt=&\Gamma& eeimg=&1&& 函数。&/p&&p&2、&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=f%28s%29%3D%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty+f_%7B%5Cpi+n%5E2%7D%28s%29%3D%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty+e%5E%7B-%5Cpi+n%5E2s%7D& alt=&f(s)=\sum_{n=1}^\infty f_{\pi n^2}(s)=\sum_{n=1}^\infty e^{-\pi n^2s}& eeimg=&1&& ，&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathcal%7BM%7Df%28z%29%5Csim%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty%5Cmathcal%7BM%7Df_%7B%5Cpi+n%5E2%7D%28z%29%3D%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty%28%5Cpi+n%5E2%29%5E%7B-z%7D%5CGamma%28z%29%3D%5Cpi%5E%7B-z%7D%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty+n%5E%7B-2z%7D%5CGamma%28z%29%5Csim%5Cpi%5E%7B-z%7D%5Czeta%282z%29%5CGamma%28z%29& alt=&\mathcal{M}f(z)\sim\sum_{n=1}^\infty\mathcal{M}f_{\pi n^2}(z)=\sum_{n=1}^\infty(\pi n^2)^{-z}\Gamma(z)=\pi^{-z}\sum_{n=1}^\infty n^{-2z}\Gamma(z)\sim\pi^{-z}\zeta(2z)\Gamma(z)& eeimg=&1&& 。&/p&&p&这里牵扯到收敛性的问题。对于第二个 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Csim& alt=&\sim& eeimg=&1&& ，只要&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=Re%28z%29%3E%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D& alt=&Re(z)&\frac{1}{2}& eeimg=&1&& 就能变成 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%3D& alt=&=& eeimg=&1&& 。对于第一个 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Csim& alt=&\sim& eeimg=&1&& ，考虑 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathcal%7BM%7Df%28z%29%3D%5Cint_0%5E%7B%2B%5Cinfty%7D%5Cleft%28%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty+e%5E%7B-%5Cpi+n%5E2s%7D%5Cright%29s%5E%7Bz-1%7Dds%5Csim%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%5Cinfty%5Cint_0%5E%7B%2B%5Cinfty%7De%5E%7B-%5Cpi+n%5E2s%7Ds%5E%7Bz-1%7Dds%3D%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty%5Cmathcal%7BM%7Df_%7B%5Cpi+n%5E2%7D%28z%29& alt=&\mathcal{M}f(z)=\int_0^{+\infty}\left(\sum_{n=1}^\infty e^{-\pi n^2s}\right)s^{z-1}ds\sim\sum_{n=0}^\infty\int_0^{+\infty}e^{-\pi n^2s}s^{z-1}ds=\sum_{n=1}^\infty\mathcal{M}f_{\pi n^2}(z)& eeimg=&1&& ，这里的积分与极限实际上是可交换的。（原因：假设 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=Re%28z%29%3Dx%3E%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D& alt=&Re(z)=x&\frac{1}{2}& eeimg=&1&& ，那么 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cint_0%5E%7B%2B%5Cinfty%7D%5Cleft%7C%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5ENe%5E%7B-%5Cpi+n%5E2s%7Ds%5E%7Bz-1%7D%5Cright%7Cds%5Cleq%5Cint_0%5E%7B%2B%5Cinfty%7D%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5ENe%5E%7B-%5Cpi+n%5E2s%7Ds%5E%7Bx-1%7Dds& alt=&\int_0^{+\infty}\left|\sum_{n=1}^Ne^{-\pi n^2s}s^{z-1}\right|ds\leq\int_0^{+\infty}\sum_{n=1}^Ne^{-\pi n^2s}s^{x-1}ds& eeimg=&1&& ，而&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty+e%5E%7B-%5Cpi+n%5E2s%7D%5Cleq+e%5E%7B-%5Cpi+s%7D%2B%5Cint_0%5E%7B%2B%5Cinfty%7De%5E%7B-%5Cpi+x%5E2s%7Ddx%5Cleq%5Cfrac%7BC_1%7D%7B%5Csqrt%7Bs%7D%7D%2B%5Cint_0%5E%7B%2B%5Cinfty%7De%5E%7B-x%5E2%7D%5Cfrac%7Bdx%7D%7B%5Csqrt%7B%5Cpi+s%7D%7D%5Cleq%5Cfrac%7BC%7D%7B%5Csqrt%7Bs%7D%7D& alt=&\sum_{n=1}^\infty e^{-\pi n^2s}\leq e^{-\pi s}+\int_0^{+\infty}e^{-\pi x^2s}dx\leq\frac{C_1}{\sqrt{s}}+\int_0^{+\infty}e^{-x^2}\frac{dx}{\sqrt{\pi s}}\leq\frac{C}{\sqrt{s}}& eeimg=&1&& ，故 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cint_0%5E%7B%2B%5Cinfty%7D%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5ENe%5E%7B-%5Cpi+n%5E2s%7Ds%5E%7Bx-1%7Dds%5Cleq%5Cint_0%5E1%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5ENe%5E%7B-%5Cpi+n%5E2s%7Ds%5E%7Bx-1%7Dds%2BC%5Cint_1%5E%7B%2B%5Cinfty%7Ds%5E%7Bx-1-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7Dds%3C%2B%5Cinfty& alt=&\int_0^{+\infty}\sum_{n=1}^Ne^{-\pi n^2s}s^{x-1}ds\leq\int_0^1\sum_{n=1}^Ne^{-\pi n^2s}s^{x-1}ds+C\int_1^{+\infty}s^{x-1-\frac{1}{2}}ds&+\infty& eeimg=&1&& ，控制收敛。）&/p&&p&这样我们就得到了这部分的最重要的等式，也是我们需要用到的结论：&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpi%5E%7B-z%7D%5Czeta%282z%29%5CGamma%28z%29%3D%5Cint_0%5E%7B%2B%5Cinfty%7D%5Cleft%28%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty+e%5E%7B-%5Cpi+n%5E2s%7D%5Cright%29s%5E%7Bz-1%7Dds& alt=&\pi^{-z}\zeta(2z)\Gamma(z)=\int_0^{+\infty}\left(\sum_{n=1}^\infty e^{-\pi n^2s}\right)s^{z-1}ds& eeimg=&1&& （ &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=Re%28z%29%3E%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D& alt=&Re(z)&\frac{1}{2}& eeimg=&1&& ）。&/p&&p&===============================&/p&&p&【第三部分：Poisson求和公式】&/p&&p&再来看一下Fourier变换 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathcal%7BF%7Df%28x%29%3D%5Cint_%7B-%5Cinfty%7D%5E%7B%2B%5Cinfty%7Df%28t%29e%5E%7Bixt%7Ddt& alt=&\mathcal{F}f(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{ixt}dt& eeimg=&1&& 。对于足够“好”的函数 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=f& alt=&f& eeimg=&1&& ，可以证明Poisson求和公式 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Csum_%7Bn%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D%7Df%28n%29%3D%5Csum_%7Bn%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D%7D%5Cmathcal%7BF%7Df%28n%29& alt=&\sum_{n\in\mathbb{Z}}f(n)=\sum_{n\in\mathbb{Z}}\mathcal{F}f(n)& eeimg=&1&& 。这部分我们就证明这个公式。&/p&&p&&br&&/p&&p&假设 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=f& alt=&f& eeimg=&1&& 足够“好”（要多好有多好），定义 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=F%28t%29%3D%5Csum_%7Bn%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D%7Df%28n%2Bt%29& alt=&F(t)=\sum_{n\in\mathbb{Z}}f(n+t)& eeimg=&1&& ，则 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=F& alt=&F& eeimg=&1&& 是 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbb%7BR%7D& alt=&\mathbb{R}& eeimg=&1&& 上周期为 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=1& alt=&1& eeimg=&1&& 的函数，于是可以构造 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=F& alt=&F& eeimg=&1&& 的Fourier级数：令 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=c_k%3D%5Cint_0%5E1F%28t%29e%5E%7B-2%5Cpi+ikt%7Ddt& alt=&c_k=\int_0^1F(t)e^{-2\pi ikt}dt& eeimg=&1&& 是第 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=k& alt=&k& eeimg=&1&& 个Fourier系数，则 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=F%28t%29%5Csim%5Csum_%7Bk%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D%7Dc_ke%5E%7B2%5Cpi+ikt%7D& alt=&F(t)\sim\sum_{k\in\mathbb{Z}}c_ke^{2\pi ikt}& eeimg=&1&& 。而这个系数&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=c_k%3D%5Cint_0%5E1F%28t%29e%5E%7B-2%5Cpi+ikt%7Ddt%3D%5Cint_0%5E1%5Csum_%7Bn%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D%7Df%28n%2Bt%29e%5E%7B-2%5Cpi+ik%28n%2Bt%29%7Ddt%3D%5Cint_%7B-%5Cinfty%7D%5E%7B%2B%5Cinfty%7Df%28t%29e%5E%7B-2%5Cpi+ikt%7Ddt%3D%5Cmathcal%7BF%7Df%28k%29& alt=&c_k=\int_0^1F(t)e^{-2\pi ikt}dt=\int_0^1\sum_{n\in\mathbb{Z}}f(n+t)e^{-2\pi ik(n+t)}dt=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-2\pi ikt}dt=\mathcal{F}f(k)& eeimg=&1&&
，从而&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Csum_%7Bn%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D%7Df%28n%29%3DF%280%29%5Csim%5Csum_%7Bk%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D%7Dc_k%3D%5Csum_%7Bk%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D%7D%5Cmathcal%7BF%7Df%28k%29& alt=&\sum_{n\in\mathbb{Z}}f(n)=F(0)\sim\sum_{k\in\mathbb{Z}}c_k=\sum_{k\in\mathbb{Z}}\mathcal{F}f(k)& eeimg=&1&& ，就得到了Poisson求和公式形式上的“证明”。 &/p&&p&&br&&/p&&p&那么 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=f& alt=&f& eeimg=&1&& 究竟要满足什么条件呢？&/p&&p&&br&&/p&&p&如果周期函数&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=F%5Cin+C%5E2%5B0%2C1%5D& alt=&F\in C^2[0,1]& eeimg=&1&& ，就有 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=F%28t%29%3D%5Csum_%7Bk%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D%7Dc_ke%5E%7B2%5Cpi+ikt%7D& alt=&F(t)=\sum_{k\in\mathbb{Z}}c_ke^{2\pi ikt}& eeimg=&1&& 。因此，我们要求 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=f& alt=&f& eeimg=&1&& 二阶连续可导，并且&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Csum_%7Bn%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D%7D%7C%7Cf%7C%7C_%7B%5Bn.n%2B1%5D%2C%5Cinfty%7D%2B%7C%7Cf%27%7C%7C_%7B%5Bn.n%2B1%5D%2C%5Cinfty%7D%2B%7C%7Cf%27%27%7C%7C_%7B%5Bn.n%2B1%5D%2C%5Cinfty%7D%3C%2B%5Cinfty& alt=&\sum_{n\in\mathbb{Z}}||f||_{[n.n+1],\infty}+||f'||_{[n.n+1],\infty}+||f''||_{[n.n+1],\infty}&+\infty& eeimg=&1&& ，使用导数一致收敛的判别法则，就得到 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=F%5Cin+C%5E2%5B0%2C1%5D& alt=&F\in C^2[0,1]& eeimg=&1&& 啦。&/p&&p&&br&&/p&&p&也就是说，如果 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=f%5Cin+C%5E2%28%5Cmathbb%7BR%7D%29& alt=&f\in C^2(\mathbb{R})& eeimg=&1&& ，并且 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Csum_%7Bn%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D%7D%7C%7Cf%7C%7C_%7B%5Bn.n%2B1%5D%2C%5Cinfty%7D%2B%7C%7Cf%27%7C%7C_%7B%5Bn.n%2B1%5D%2C%5Cinfty%7D%2B%7C%7Cf%27%27%7C%7C_%7B%5Bn.n%2B1%5D%2C%5Cinfty%7D%3C%2B%5Cinfty& alt=&\sum_{n\in\mathbb{Z}}||f||_{[n.n+1],\infty}+||f'||_{[n.n+1],\infty}+||f''||_{[n.n+1],\infty}&+\infty& eeimg=&1&& ，就有Poisson求和公式 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Csum_%7Bn%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D%7Df%28n%29%3D%5Csum_%7Bn%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D%7D%5Cmathcal%7BF%7Df%28n%29& alt=&\sum_{n\in\mathbb{Z}}f(n)=\sum_{n\in\mathbb{Z}}\mathcal{F}f(n)& eeimg=&1&& 。
&/p&&p&===============================&/p&&p&【第四部分：这是最后的斗争】&/p&&p&前面已经做了充分的准备工作，是时候向目标发起最后冲刺了。&/p&&p&&br&&/p&&p&设 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Clambda%3E0& alt=&\lambda&0& eeimg=&1&& ，令 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctheta%28%5Clambda%29%3D%5Csum_%7Bn%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D%7De%5E%7B-%5Cpi+n%5E2%5Clambda%7D& alt=&\theta(\lambda)=\sum_{n\in\mathbb{Z}}e^{-\pi n^2\lambda}& eeimg=&1&& ， &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpsi%28%5Clambda%29%3D%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty+e%5E%7B-%5Cpi+n%5E2%5Clambda%7D& alt=&\psi(\lambda)=\sum_{n=1}^\infty e^{-\pi n^2\lambda}& eeimg=&1&& ，很显然 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctheta%28%5Clambda%29%3D2%5Cpsi%28%5Clambda%29%2B1& alt=&\theta(\lambda)=2\psi(\lambda)+1& eeimg=&1&& 。&/p&&p&&br&&/p&&p&考虑 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=f%28t%29%3De%5E%7B-%5Cpi+t%5E2%5Clambda%7D& alt=&f(t)=e^{-\pi t^2\lambda}& eeimg=&1&& ，计算得 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathcal%7BF%7Df%28x%29%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B%5Clambda%7D%7De%5E%7B-%5Cpi%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B%5Clambda%7D%7D& alt=&\mathcal{F}f(x)=\frac{1}{\sqrt{\lambda}}e^{-\pi\frac{x^2}{\lambda}}& eeimg=&1&& ，而且满足相应条件，因此用Poisson求和公式， &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Csum_%7Bn%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D%7De%5E%7B-%5Cpi+n%5E2%5Clambda%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B%5Clambda%7D%7D%5Csum_%7Bn%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D%7De%5E%7B-%5Cpi%5Cfrac%7Bn%5E2%7D%7B%5Clambda%7D%7D& alt=&\sum_{n\in\mathbb{Z}}e^{-\pi n^2\lambda}=\frac{1}{\sqrt{\lambda}}\sum_{n\in\mathbb{Z}}e^{-\pi\frac{n^2}{\lambda}}& eeimg=&1&& ，即 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctheta%28%5Clambda%29%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B%5Clambda%7D%7D%5Ctheta%5Cleft%28%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Clambda%7D%5Cright%29& alt=&\theta(\lambda)=\frac{1}{\sqrt{\lambda}}\theta\left(\frac{1}{\lambda}\right)& eeimg=&1&& 。&/p&&p&&br&&/p&&p&换成 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpsi& alt=&\psi& eeimg=&1&& 就是 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpsi%5Cleft%28%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Clambda%7D%5Cright%29%3D%5Csqrt%7B%5Clambda%7D%5Cpsi%28%5Clambda%29%2B%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B%5Clambda%7D-1%7D%7B2%7D& alt=&\psi\left(\frac{1}{\lambda}\right)=\sqrt{\lambda}\psi(\lambda)+\frac{\sqrt{\lambda}-1}{2}& eeimg=&1&& 。&/p&&p&&br&&/p&&p&第二部分的最后，得到了 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpi%5E%7B-z%7D%5Czeta%282z%29%5CGamma%28z%29%3D%5Cint_0%5E%7B%2B%5Cinfty%7D%5Cleft%28%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty+e%5E%7B-%5Cpi+n%5E2s%7D%5Cright%29s%5E%7Bz-1%7Dds%3D%5Cint_0%5E%7B%2B%5Cinfty%7D%5Cpsi%28s%29s%5E%7Bz-1%7Dds& alt=&\pi^{-z}\zeta(2z)\Gamma(z)=\int_0^{+\infty}\left(\sum_{n=1}^\infty e^{-\pi n^2s}\right)s^{z-1}ds=\int_0^{+\infty}\psi(s)s^{z-1}ds& eeimg=&1&& 。因此&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cbegin%7Balign%2A%7D+%26%5Cpi%5E%7B-z%7D%5Czeta%282z%29%5CGamma%28z%29%5C%5C+%3D%26%5Cint_0%5E%7B%2B%5Cinfty%7D%5Cpsi%28s%29s%5E%7Bz-1%7Dds%5C%5C+%3D%26%5Cint_1%5E%7B%2B%5Cinfty%7D%5Cpsi%28s%29s%5E%7Bz-1%7Dds%2B%5Cint_0%5E1%5Cpsi%28s%29s%5E%7Bz-1%7Dds%5C%5C+%3D%26%5Cint_1%5E%7B%2B%5Cinfty%7D%5Cpsi%28s%29s%5E%7Bz-1%7Dds%2B%5Cint_1%5E%7B%2B%5Cinfty%7D%5Cpsi%5Cleft%28%5Cfrac%7B1%7D%7Bs%7D%5Cright%29s%5E%7B1-z%7D%5Cfrac%7Bds%7D%7Bs%5E2%7D%5C%5C+%3D%26%5Cint_1%5E%7B%2B%5Cinfty%7D%5Cpsi%28s%29s%5E%7Bz-1%7Dds%2B%5Cint_1%5E%7B%2B%5Cinfty%7D%5Cleft%28%5Cpsi%28s%29%5Csqrt%7Bs%7D%2B%5Cfrac%7B%5Csqrt%7Bs%7D-1%7D%7B2%7D%5Cright%29s%5E%7B-1-z%7Dds%5C%5C+%3D%26%5Cint_1%5E%7B%2B%5Cinfty%7D%5Cpsi%28s%29%28s%5E%7Bz-1%7D%2Bs%5E%7B-z-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7D%29ds%2B%5Cint_1%5E%7B%2B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7Bs%5E%7B-z-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7D-s%5E%7B-z-1%7D%7D%7B2%7Dds%5C%5C+%3D%26%5Cint_1%5E%7B%2B%5Cinfty%7D%5Cpsi%28s%29%28s%5E%7Bz-1%7D%2Bs%5E%7B-z-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7D%29ds%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2z%282z-1%29%7D+%5Cend%7Balign%2A%7D& alt=&\begin{align*} &\pi^{-z}\zeta(2z)\Gamma(z)\\ =&\int_0^{+\infty}\psi(s)s^{z-1}ds\\ =&\int_1^{+\infty}\psi(s)s^{z-1}ds+\int_0^1\psi(s)s^{z-1}ds\\ =&\int_1^{+\infty}\psi(s)s^{z-1}ds+\int_1^{+\infty}\psi\left(\frac{1}{s}\right)s^{1-z}\frac{ds}{s^2}\\ =&\int_1^{+\infty}\psi(s)s^{z-1}ds+\int_1^{+\infty}\left(\psi(s)\sqrt{s}+\frac{\sqrt{s}-1}{2}\right)s^{-1-z}ds\\ =&\int_1^{+\infty}\psi(s)(s^{z-1}+s^{-z-\frac{1}{2}})ds+\int_1^{+\infty}\frac{s^{-z-\frac{1}{2}}-s^{-z-1}}{2}ds\\ =&\int_1^{+\infty}\psi(s)(s^{z-1}+s^{-z-\frac{1}{2}})ds+\frac{1}{2z(2z-1)} \end{align*}& eeimg=&1&&&/p&&p&以上计算的前提是 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=Re%28z%29%3E%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D& alt=&Re(z)&\frac{1}{2}& eeimg=&1&& 。&/p&&p&&br&&/p&&p&令 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=w%3D2z& alt=&w=2z& eeimg=&1&& ，则当 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=Re%28w%29%3E1& alt=&Re(w)&1& eeimg=&1&& 时，&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Csqrt%7B%5Cpi%7D%5E%7B-w%7D%5Czeta%28w%29%5CGamma%5Cleft%28%5Cfrac%7Bw%7D%7B2%7D%5Cright%29%3D%5Cint_1%5E%7B%2B%5Cinfty%7D%5Cpsi%28s%29%28%5Csqrt%7Bs%7D%5E%7Bw-2%7D%2B%5Csqrt%7Bs%7D%5E%7B-w-1%7D%29ds-%5Cfrac%7B1%7D%7Bw%281-w%29%7D& alt=&\sqrt{\pi}^{-w}\zeta(w)\Gamma\left(\frac{w}{2}\right)=\int_1^{+\infty}\psi(s)(\sqrt{s}^{w-2}+\sqrt{s}^{-w-1})ds-\frac{1}{w(1-w)}& eeimg=&1&&&/p&&p&现在观察：等号右边是一个亚纯函数（亚纯函数就是“能表示成两个解析函数的商 ”的函数，或者“没有本性奇点”的函数，两个亚纯函数经过四则运算仍然是亚纯函数），而等号左边的 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Csqrt%7B%5Cpi%7D%5E%7B-w%7D& alt=&\sqrt{\pi}^{-w}& eeimg=&1&& 、 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5CGamma%5Cleft%28%5Cfrac%7Bw%7D%7B2%7D%5Cright%29& alt=&\Gamma\left(\frac{w}{2}\right)& eeimg=&1&& 也都是亚纯函数。这样，上式相当于给出了 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Czeta%28w%29& alt=&\zeta(w)& eeimg=&1&& 在 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=w%5Cin%5Cmathbb%7BC%7D& alt=&w\in\mathbb{C}& eeimg=&1&& 上的定义！&/p&&p&&br&&/p&&p&这还没完，试试在等号右边把 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=w& alt=&w& eeimg=&1&& 换为 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=1-w& alt=&1-w& eeimg=&1&& ，你会发现式子根本没变。这就说明：&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Csqrt%7B%5Cpi%7D%5E%7B-w%7D%5Czeta%28w%29%5CGamma%5Cleft%28%5Cfrac%7Bw%7D%7B2%7D%5Cright%29%3D%5Csqrt%7B%5Cpi%7D%5E%7Bw-1%7D%5Czeta%281-w%29%5CGamma%5Cleft%28%5Cfrac%7B1-w%7D%7B2%7D%5Cright%29& alt=&\sqrt{\pi}^{-w}\zeta(w)\Gamma\left(\frac{w}{2}\right)=\sqrt{\pi}^{w-1}\zeta(1-w)\Gamma\left(\frac{1-w}{2}\right)& eeimg=&1&& 。&/p&&p&现在让 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=w%3D-1& alt=&w=-1& eeimg=&1&& ，就有&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Csqrt%7B%5Cpi%7D%5Czeta%28-1%29%5CGamma%5Cleft%28-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cright%29%3D%5Csqrt%7B%5Cpi%7D%5E%7B-2%7D%5Czeta%282%29%5CGamma%281%29& alt=&\sqrt{\pi}\zeta(-1)\Gamma\left(-\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}^{-2}\zeta(2)\Gamma(1)& eeimg=&1&& 。&/p&&p&我们知道 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Czeta%282%29%3D%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%5E2%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cpi%5E2%7D%7B6%7D& alt=&\zeta(2)=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}& eeimg=&1&& ， &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5CGamma%281%29%3D1& alt=&\Gamma(1)=1& eeimg=&1&& ，&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5CGamma%5Cleft%28%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cright%29%3D%5Csqrt%7B%5Cpi%7D& alt=&\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}& eeimg=&1&& ， &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5CGamma%5Cleft%28-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cright%29%3D%5Cfrac%7B%5CGamma%5Cleft%28%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cright%29%7D%7B-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7D%3D-2%5Csqrt%7B%5Cpi%7D& alt=&\Gamma\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)}{-\frac{1}{2}}=-2\sqrt{\pi}& eeimg=&1&& ，&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&因此：&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Czeta%28-1%29%3D%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B%5Cpi%7D%5E%7B-2%7D%5Czeta%282%29%5CGamma%281%29%7D%7B%5Csqrt%7B%5Cpi%7D%5CGamma%5Cleft%28-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cright%29%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cfrac%7B%5Cpi%5E2%7D%7B6%7D%7D%7B%5Csqrt%7B%5Cpi%7D%5E3%28-2%29%5Csqrt%7B%5Cpi%7D%7D%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7B12%7D& alt=&\zeta(-1)=\frac{\sqrt{\pi}^{-2}\zeta(2)\Gamma(1)}{\sqrt{\pi}\Gamma\left(-\frac{1}{2}\right)}=\frac{\frac{\pi^2}{6}}{\sqrt{\pi}^3(-2)\sqrt{\pi}}=-\frac{1}{12}& eeimg=&1&&&/p&&p&证明完结。&/p&
【已完成】今天要解决一个问题，为什么全体自然数的和是 -\frac{1}{12} 呢？ 写这篇文章的目的有两个：一是我本学期在学复分析，写这篇的同时权当复习。二是近来，我在知乎的若干回答下看到有人拿“全体自然数的和是负十二分之一”说事，说的那叫一个“有理…
&p&每个地方都有“眼”，这个眼就镇着这块地，每个地方的眼有大有小，大的眼能镇的远一点，眼小的地方只能镇那一小块地。大的眼有城那么大，小的眼可能只有操场大小。有的地方不在眼的范围里，所以就特别邪门。当地政府宁愿花个几百万在原来的地方重建老庙，也不愿把老庙迁址就因为这里就是当地的眼，不能碰，要是破坏了这块眼或是眼没东西填了，和眼有关系的人都得接连遭殃，最后会殃及到周边。&br&———————————分割————————————&br&填眼的东西，有人，有物。人基本上是一脉，物基本上是法器或者不得了的东西，舍利子这么珍贵，因为确实可以拿来填眼。&br&有的地方已经没有可以填眼的东西了，但是有别的方法可以填，比如用地形建阵或者拿其他东西去镇，中国很多地方就是这样，比如帝都。&br&镇和填不一样，填是后人想的办法，比如舍利子还不足以起到镇的作用，只能算填，中国以前是真的有大师可以镇眼的&/p&&p&不能说太多，有人看再写点。&/p&&p&———————————分割———————————&/p&&p&有那么多评论有点小意外，因为是凌晨码的没指望有那么多人看，下午再码，有的事情确实不好说太多，就挑些小事说下&/p&&p&————————3月25日下午更新———————&/p&&p&首先说一件真事，我亲眼所见&/p&&p&说到眼了，就说一个比较著名的眼，那就是西藏拉萨布达拉宫，最初由吐蕃王朝松赞干布建立，之后重建都在原址，就像开头所述眼的位置是固定的，布达拉宫就是一处眼，而且是一处不得了的眼。&/p&&p&这件事是2010年发生的，有幸拜访过布达拉宫的某位大师，称呼里带个yang字(很抱歉真的想不起来了)，暂且叫他大师，布达拉宫很大，分红宫和白宫，当时我们在红宫和白宫之间的一处大殿拜访了大师，大师让我们一行人站在一面墙前，墙面很光滑，甚至能像镜子一样看见自己的大致轮廓，拜访大师的时候是上午，眼看快到中午了，队伍里几个女的突然惊叫起来，之后的情景我一辈子都忘不了，西藏阳光很强烈，队里一个女人被阳光照射，影子倒映在墙面上，别的人都是一道影子，女人却是三道影子。而且影子大小不一样，第一道很明显是女人的影子，第二道稍微矮一点，第三道完全就是个小娃娃。女人哭了，大师脸色也严肃起来，拉着女人到大殿后面，之后让女的跪着念经，自己也在念经，之后我们都去吃午饭了，女人依然被留在那里念经，吃饭的时候碎碎念听说女人以前离过婚打过胎，第二道影子身高差不多有十岁小孩，几年前女人怀孕孩子没要，可能就是第三个孩子，懂一点的人说打胎的时候孩子受的苦太大，留在女人身上不想走，孩子鬼魂是越长越大，第二个孩子影子已经快到人胸口了，再长大一点就要害人了，现在码字也有点害怕，感慨布达拉宫确实是一个神奇的地方，之后听说布达拉宫镇着guo运，也不难想象此眼有多神奇，一般的眼有人镇着或者有宝物镇着就行了，布达拉宫却住着历代达赖喇嘛，又有众多大师云集，里面无数珍宝又有些什么大家自行想象。同时又是1961年国家第一批重点文物保护单位，懂的人自然懂。&/p&&p&先码这么多，晚上可能还会更&/p&&p&——————————3月25日晚—————————&/p&&p&道听途说 抓童子&/p&&p&童子就是从天上偷跑下来投生的童子，若是真童子，不足十二岁必定死亡，因为天上点卯，十二地支为一轮，若是发现某小童不在，就会派兵收捉，一旦捉到，那么这个投生的小孩就会死掉。&/p&&p&有的眼没东西镇了，就会想到用童子填，童子魂魄会被囚禁在眼处，以童子性命换此地安宁。因为童子要么是天上下来的，要么是前世修行者轮回转世。抓童子只会抓6岁以下的童子，童子被拿来填眼如年龄太大会产生怨气，6岁，12岁是童子关，随时会被召回，所以童子会被抓去填在没有人烟的眼处，这样不易被天兵发现，少数人贩子就专门偷童子。凡事都有因果，倘若童子死后的魂魄还是被天兵发现召回，人贩子就会遭到报应。&/p&&p&多注意平时寻人启事中未满6岁，又长得眉清目秀的小孩&/p&&p&深夜会讲帝都的异闻录，大家喜欢的话就多更点。&/p&&p&—————————3月25日深夜—————————&/p&&p&下面讲的内容各位可以信也可以不信，权当听故事&/p&&p&这件事网上已经完全查不到了&/p&&p&2008年北京奥运会吉祥物福娃其实是五只小鬼，你们可以问问身边有没有人知道“&b&五小鬼闹神州&/b&”。&/p&&p&也是好多年前的事情了，听别人说的。&/p&&p&至于小鬼是如何闹神州的&/p&&p&2008年1月我国南方大部分地区发生了历史罕见的冰冻雨雪灾害，129人死亡，直接造成经济损失1516.5亿元人民币(水娃贝贝)&/p&&p&“3.14”拉萨事件。3月14日，西藏拉萨不法分子发生打、砸、抢、烧事件，18人死亡，382人受伤，1300间商铺被毁，经济损失2.8亿元人民币。随后，甘肃、四川两地的藏区也发生了类似事件。(藏羚羊迎迎)&/p&&p&4.28”火车相撞。4月28日，由北京开往青岛的T195次列车与烟台开往徐州的5034次相撞，造成72人死亡，416人受伤(京燕妮妮)&/p&&p&“5.12”汶川大地震。5月12日，四川省汶川县发生理氏8级大地震，波及多个省市，8万人丧生，30多万人受伤，直接经济损失8451亿元人民币。(熊猫贝贝)&/p&&p&火娃是小鬼王，然而并没有出现&/p&&p&之后就是北京奥运会开始，开幕式大家都看了吧，有没有人发现作为奥运吉祥物，福娃为什么都没有出现，而且为了避免火娃在那一天闹事，奥运会全程都没有使用大火，开幕式一开始千人击缶，那个乐器不是鼓，而是缶，在古代是用来驱散鬼魂悼念死者(如“妻亡不哭，亦何所懽，慢吊鼓缶，放此诞言”)，至于火娃最后去了哪里，不得而知。&/p&&p&当然听别人说的时候更具体，现在回忆起来忘了好多了，大家就当看了个故事会吧&/p&&p&评论里也有说在海南摆阵破解的，海南是一个神奇的地方，古时候虽是犯人流放之地，但确实有历代帝王在海南摆过各种阵法。&/p&&p&———————————分割————————————&/p&&p&谢谢各位捧场，今天先睡了，明天还会更新&/p&&p&—————————3月26日更新—————————&/p&&p&这件事发生在云南&/p&&p&当时一直在云南游荡，西双版纳、普洱等地都去过，云南和三个国家接壤，在云南逛着逛着就快到缅甸了，还去看了中国和缅甸间的界碑。缅甸盛产翡翠，因为自生无法加工，所以会送到云南加工。翡翠是玉石的一种，相传玉是可以替人挡灾的，本来我是不信的，直到两位挚友出事才相信一点，一位挚友也是满中国跑的，阅历比我多，后来出了车祸，人一点事都没有，脖子上的玉碎了，玉是他丈母娘给他的，现在也给他孩子戴了一颗玉。还有一位挚友，也是车祸，不过在车祸之前玉莫名其妙地丢了，他说是玉替他挡灾去了。戴玉也有讲究，男戴观音女戴佛，因为男人生性好色，所以戴观音。女人易猜疑嫉妒，所以戴弥勒佛。12岁以下的小孩适合戴自己的生肖。做生意的人喜欢玉貔貅，貔貅能吞万物而不泄，故有纳食四方之财的寓意，我对此也略知一二，牙齿越尖，屁股越大的玉貔貅越值钱。貔貅忌光，所以大部分人都是供在卧室里。&/p&&p&说着说着要离题了...回归主题，今天的主人公是一个大老板，经常带着家属朋友来云南买翡翠，因为上等的翡翠自云南出来之后都是先经过挑选，剩下的再流向全国，这位老板都是亲自挑选玉石。某次他和几个生意伙伴来这里挑翡翠，第一批翡翠被挑完之后，其他人都是挑的好翡翠，老板拿了一块被雕成弥勒佛的墨玉(墨翠)出来，价格便宜且不好看。大家还在想他挑了半天怎么挑出来这么一块玉，老板笑嘻嘻地把墨玉递给老人看，老人是云南人，摸过很多玉，端详了一阵，把玉还给老板，说了四个字&/p&&p&“人中龙凤”&/p&&p&不是形容这块墨玉，而是形容老板&/p&&p&这块墨色弥勒佛肚中有一块冰种，冰种是玉中上等的成色，其色如冰，纯白透明，上等一点的叫玻璃种，而这颗冰种在弥勒佛肚中，就像一轮明月挂在漆黑的夜晚，若是好好加工，这颗墨玉的价格将会翻倍。&/p&&p&能挑出这种玉的人，颇有伯乐识马的眼力，注定不是平凡人。&/p&&p&可惜心性不正，此人把翡翠玉器翻倍卖到香港，表面是翻倍赚钱，其实是为了洗钱。通俗点说就是一块2万的玉30万卖掉，中间的28万差价看似是赚的钱，实则是黑钱，只不过通过这种方式洗成是通过正当渠道获得的钱。&/p&&p&我一直相信因果报应，人在做天在看，2015年天津大爆炸使他免不了牢狱之灾，而他正是此次事件涉及到的公司老板之一。&/p&&p&人养玉三年，玉养人一生&/p&&p&———————————分割————————————&/p&&p&今日更新完毕，一天一更，明日继续更新，谢谢大家&/p&&p&—————————最后一篇故事—————————&/p&&p&&b&梅里雪山&/b&&/p&&p&梅里雪山是云南神山之一，至今没有人攀至顶，九零年代有一伙十七人的中日登山队试图攀登梅里雪山，无人生还。&/p&&p&那梅里雪山，一脉十三峰，终年积雪。山下住着那些虔诚的藏民，把这雪山当成神山供奉。十三峰中，有一座最高峰，名字叫卡瓦格博峰，海拔高度有六千多米。藏民们敬奉这神山是他们的保护神的居住地，每年固定的时间，总会有大批的藏民诚意转山，转山有两条路，一条路是绕大圈儿，转下来没有半年也得四五个月，另一条路是小圈儿，转下来也得三个多月。&/p&&p&这个故事是从当地藏民口中得知&/p&&p&那时中日登山时，当地藏民是持反对意见的，因为他们坚信深山上有山神，登上神山会触犯山神，双方一直僵持不下，最后，登山队表示不去山顶，只在山腰拍点照片就走，因为是第一次登山，他们还请了当地一个藏民青年领路，路上一直用日语交流，淳朴的藏民也听不懂，想着把他们带到半山腰就行了，到了半山腰，日本人说还要在这里拍点照片做点考察，让藏民先回去，藏民想到家里也有事，就先回去了，并且一再叮嘱不要登山。可是在藏民刚走之后，考察队不听劝告继续前进。藏民刚回山下不久，山下的人就看见雪山上乌云密布，藏民们就知道这十七个人还是登山了，触犯了山神。普通藏民对这种事情是没有办法的，他们都涌去了飞来寺，飞来寺里有藏族喇嘛，大家都跪在寺庙里对着神山，口中念念有词希望山神息怒，喇嘛们拿着挞杩，最年长的喇嘛神色紧张，他们在庙里做了场法事，最后年长的喇嘛跪在神像前，和山神对话，希望山神原谅登山队，让他们平安归来，过了好久，神像前爬下了几只蚂蚁，喇嘛们一数，正好是十七只，老喇嘛叹了口气道，他们是回不来了。&/p&&p&山神把他们留在了那里&/p&&p&此后很多年，一个藏族孩子在放羊的时候发现了雪下埋着东西（至于具体是什么我也忘了，只记得上面印有汉字），带回家中大人一看是汉字，就想到了几年前失踪的考古队，之后去发现的地方挖出来17个人的遗物，人们找到了他们的衣物、用具、骸骨，这些都散落在很大一片面积的山坡上。这片山坡，并不是他们登山时所攀爬的那一面山坡，而是另一面，与他们攀登的方向相背的那一面山坡。据说，他们每个人占了一片地方，各人的东西虽然七零八碎地散开成一大片，却似乎是有人摆放的一样，绝未互相干扰，不多不少地就分了十七堆。&/p&&p&自那以后，中国政府明令：禁止攀登梅里雪山。&/p&&p&有人说是宗教原因，倒也可以理解。&/p&&p&而飞来寺以及与此事相关的噶丹·松赞林寺各是一处镇眼之地，以及云南的茶马古道，也是一处眼，那又是另外一件事了。&/p&&p&—————————4月2日更———————————&/p&&p&不在中国境内，所处的地方已经进入冬令时，和中国时差2个小时，现在近凌晨6点，一夜未眠，回来翻了翻评论，修改了点词句上的错误，再随笔提一下刚刚说的茶马古道。&/p&&p&茶马古道上的眼可以说是非常邪性了，只能说眼被人改动过，而且还是建国之后不久被人改的。在五六七十年代，茶马古道的马帮靠拉运货物为生，茶马古道恶劣的气候环境和强盗是马帮的天敌。有一次靠近年关的运货途中，一伙马帮出了变故，队伍里有个中年男子死在了路上，至于路上发生了什么马帮回去之后也不肯说，只道是遇上了抢匪，男人中了几刀失血过多，情况太紧急马帮里的人就先跑了，尸体也没给带回来。男人一家老小没人照顾，妻子是整天以泪洗面，直到三年后的某一天黄昏，消失在茶马古道、毫无音讯的男人在夕阳下出现在了家门口，可谁也没想到，回来的已然是一具活死人...&/p&&p&————————————完————————————&/p&&p&现在很多老人，他们并不会主动去描述一些异闻故事 ，往往是别人问起，他们才会缓缓道来这片土地上过去发生了什么，有的人直到去世也不会对外说，因为大部分人并不会在意一个糟老头子说的故事，可能就是缺少这么一个蒲松龄去撰写现代版聊斋志异。&/p&&p&故事就讲这么多，再会。&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&本是后山人，偶做前堂客。&/b&&/p&&p&&b&醉舞经阁半卷书， 坐井说天阔。&/b&&/p&&p&&b&取匿了，不过平时逛知乎也只是看看，凡人一个&/b&&/p&
每个地方都有“眼”，这个眼就镇着这块地，每个地方的眼有大有小，大的眼能镇的远一点，眼小的地方只能镇那一小块地。大的眼有城那么大，小的眼可能只有操场大小。有的地方不在眼的范围里，所以就特别邪门。当地政府宁愿花个几百万在原来的地方重建老庙，也…
&p&第一个告诉我那个女孩的事儿的，是保安老沈。那天，我去找他，问他为什么还不走。早几天前我就和他说了，我付不出他这个月的工资。&/p&&p&“怪舍不得的”，他说，“咱们水族馆开馆的时候我就在了，干完这个月，就算干满十年了。”他腼腆地笑了笑，点起一根烟：“就站完最后一班岗吧。”&/p&&p&我叹了一口气，正打算离开，老沈却叫住了我。&/p&&p&“老板，有件事儿要和你说一下···”他皱起眉头，“最近有个女娃，天天来，有点古怪。”&/p&&p&老沈领着我来到走廊，远远地指给我看那女孩的背影。女孩紧贴着玻璃，身子几乎要融进昏暗的背景中。&/p&&p&“算起来，今天是第五天了。咱们馆现在都没啥人来，所以我记得清楚。这女娃不爱说话，我问她什么也爱理不理，就是每天站着看鱼。老板，咱们馆里也没剩多少鱼了，要我说，半天就足够看完。她这样一天天的来······怪瘆人的。”&/p&&p&我远远地注视了女孩一会儿，然后告诉老沈，以后不用管她。&/p&&p&她穿着一身黑色洋装，头发扎成简单的马尾，石像般凝固在原地。她的目光向前看去，穿透面前的透明玻璃，直达那片深沉而浓重的蓝色。&/p&&p&我慢慢地走到女孩身边，面前的玻璃映出一张苍白的脸。她很年轻，大约只有二十出头，但是却带有一种和她年龄极其不相称的美，而这种美我从来没有在其他人身上见到过。&/p&&p&“对不起，鱼不多了，前段时间死了一大批。新加一批又死一批，到现在也没养起来。”&/p&&p&女孩过了很久才答话，我原本还以为她不会理我：“是的，我发现了。这几周我去过很多水族馆，这儿的鱼确实不多，水缸里很空旷。”&/p&&p&“去过很多水族馆，你是水族馆爱好者？”我有点不好意思，“我们馆，大概让你失望了吧。它以前不是这样的。”&/p&&p&“算不上。我没有失望，因为我不是来看鱼的。”&/p&&p&“哦？那你为什么天天来？”&/p&&p&“我来找我的爱人。”她说。&/p&&p&我一时有些错愕。&/p&&p&女孩这么年轻，嘴里说出“爱人”这个词似乎过了头，更何况，她说话时，我在脑中迅速过了遍馆里的每个员工。现在我们馆里不剩几个年轻人，似乎没有一个可能是她的“爱人”。&/p&&p&“你的爱人，是在我们水族馆里工作么？”我试探性地问道。&/p&&p&“也许是，也许不是，我不知道。”&/p&&p&“你们分开很久了？”&/p&&p&“不久，大概几个月，但我却觉得像一辈子。”&/p&&p&我有些开始羡慕她了。二十年前，我也曾经像她那么年轻和决绝。&/p&&p&“他叫什么名字？”我问，“也许我可以帮到你。”&/p&&p&“我不知道，”她转过头看我，表情显得有些羞赧：“我甚至从来没有见过他。”&/p&&p&“是网恋吗？你们年轻人···”&/p&&p&“不······”女孩打断了我，“我只在梦中见过他。”&/p&&p&我一时哑然，不过想了想，反倒自己笑了起来：“也许我可以当你的听众”，我说，“十年前，我总是火急火燎，很没有耐心，但现在我已经是一个很好的听众了。”&/p&&p&女孩笑了：“好的，只是，请不要取笑我。”&/p&&p&那是当然。&/p&&p&女孩的讲述开始。一切，一切的思念，一切莫名而来的痛苦、心碎与甜蜜，都来自一个梦境。&/p&&p&梦境中的她仿佛从另一个梦境中醒来，不知自己身在何地，甚至不知自己是谁。感官渐渐从虚空中浮现，但却不能被全然掌控。她听到风声，闻到一种令人沉迷的香味。她在清醒和沉睡之间挣扎，直到某个瞬间，她感到一种无比真实的温暖触感拂过四肢百骸，把她紧紧拥围。这一刻，她感受到了前所未有的安宁、平和，以及天国降临般的幸福。&/p&&p&她知道，自己正在爱人的怀里。&/p&&p&梦境模糊而旖旎，如同蒙了一层薄纱，所以她始终未能看清楚爱人的样子。可一些破碎的概念似乎是直接注入了她的脑海里。&/p&&p&“我的爱人······他的躯体就像远古的神明那样雄健；他的吐息像蜜糖那样甜蜜；他的眼睛大而有神，仿佛有火焰在里面炯炯燃烧。”&/p&&p&女孩知道，她只是知道，但是她不记得了。她只记得自己隔着帷幕与爱人交缠在一起，不管是身体，还是生命。&/p&&p&梦境的最后，是她的爱人沉入水中。她试图追随她的爱人，与他一起下沉，但强大的浮力把她推上水面。她在水中睁开眼，看到爱人渐渐沉入了黑暗的水底，然后再无踪影。那一刻，无穷无尽的恐惧如潮水般袭来。&/p&&p&梦境结束。&/p&&p&阳光洒下，恐惧消散。记忆里遗留下来的，只剩下迷醉、甜蜜和幸福。这种情感是那么强烈，足以击穿梦境和现实的壁垒，让她在苏醒后依然怅然若失。那甚至已经不仅是怅然，那是一种尖锐的，剧烈的，近乎绝望的心痛。她无法停止想他，无法停止一遍遍地回味模糊梦境带给她的回忆，甚至，当她每次回忆的时候，嘴角都能尝到他舌尖泛起的甜蜜。&/p&&p&可是，醒来的一瞬间，她就失去他了。那种失去一个原本就不存在的爱人的痛苦，于之后一周里的每时每刻都没有停止过对她的折磨。这种痛苦无人能够分享和倾诉，因为她的痛苦根本找不到一个加害者，一个确切的源头。她无法责怪梦境，就像色盲无法责怪颜色。&/p&&p&这也是为什么一周后，当她重新沉入另一个梦境，她会如此欣喜若狂。在那个梦境中，她完全失去了自己。一切的视角都仿佛跟随着那个不存在的爱人，他听到，看到，感受到的，也就是她听到，看到，感受到的。&/p&&p&她看到光亮刺破黑暗，照亮水下的浮尘。视角的主人，也就是她的爱人开始向前游动，朝着光源方向，不发出一丁点声音。水中有鱼，但不多；它们在苍白的人造光下游动，一旦和他的距离小于五米，就像触电般弹开。他缓缓前进，直到触及这个世界的尽头。世界的尽头是一面厚厚的玻璃，而玻璃的另一边，是水下的观光走廊。他看到一个身影安静地站在那里，目光在阴影中流转，尽是温柔。&/p&&p&那是女孩自己。&/p&&p&女孩感受到了爱人能感受到的一切。他感到寒冷、饥饿与虚弱。他被束缚在这里，如同囚犯。&/p&&p&梦境的主人向玻璃伸出手去，而女孩也把手按在玻璃上。&/p&&p&“我爱你。”女孩与玻璃另一边的影子同时呢喃。这一刻，她回到了自己体内。她想看清那影子，但那里只有一片模糊的光晕。&/p&&p&&br&&/p&&p&“所以，通过这个梦，你知道，你的爱人正被束缚在一个有着玻璃甬道的水缸里。换句话说，在水族馆里。”&/p&&p&“没错。正是这个梦后，我开始造访城市附近的每一个水族馆，但它们却都不是我梦中的样子。它们都······太明亮，太热闹，花团锦簇，充斥着游客的污浊气味。”&/p&&p&“那，我们水族馆呢？”&/p&&p&她低头笑了：“迄今为止，这是和我梦中所见最为接近的水族馆。稀疏的鱼群，低矮阴暗如甬道般的观光走廊，以及那更加阴暗的水缸，一切都和梦中太像了。”&/p&&p&我心下有一丝惭愧，因为我的水族馆确实已经很不成样子了。&/p&&p&水族馆不大，但以前至少还有地上地下是各两个水缸的，可如今，因为鱼数稀少，其他三个水缸都空置着，只留下了地下最老的一个。员工已经走了一半，就连这唯一的水缸也丝毫谈不上什么景观：水藻大量繁殖，能见度变得很差。有好几盏照明灯都年久失修，显得整个观光走廊格外的昏暗阴森。&/p&&p&“馆长，您知道他在哪里吗？”女孩把思虑中的我拉回现实。我没想到她真的会这么问，不禁哑然失笑。&/p&&p&“恕我得罪，你是指一个成天在咱们水族馆的水缸里游来游去的男人？”&/p&&p&“我知道这很荒谬，不过您说您可能可以帮到我，所以······”&/p&&p&“对不起，我恐怕帮不上·····”&/p&&p&我没能把话说完。&/p&&p&就在这一瞬间，我突然想到了什么东西。随后，一阵恶寒从我脚底直窜上脑门，如同阴冷的蛇游过皮肤。不可能，不可能，世间不可能有这种事情！&/p&&p&“馆长，您怎么了······”&/p&&p&“对不起······请你，来我办公室一趟吧。”&/p&&p&&br&&/p&&p&我从保险柜中拿出一摞材料，从中找出了一张照片。&/p&&p&“你看看，是他吗？”我把照片拿给女孩。女孩接过，捧在手里注视良久。&/p&&p&“我不知道······”她痛苦地摇头，“我从来没有见过他的脸。他在哪儿，让我见见他吧，也许见到他本人后，我就能知道······”&/p&&p&“很遗憾”，我摇了摇头，“他已经死了。”&/p&&p&罗鑫的意外，大概正是压垮我的水族馆的最后一根稻草。虽然，那场意外就算不发生，我的水族馆恐怕也难以支撑太久。&/p&&p&我很难说水族馆的情况是从哪一天开始变糟的，但是当我意识到危机的时候，城北更新更大的极地海洋世界已经开门迎客；而我这个已经走上第十个年头的老水族馆，却开始不停地死鱼。说来可笑，我自诩为是个鱼类专家，养了二十年鱼，开了十年水族馆，到头来却反倒连鱼也养不活了。&/p&&p&大部分鱼是病死的，可病情却不尽相同。有些是身上长瘤子；有些是鳞片脱落，肌肉腐烂；而有些则是游着游着就突然浑身僵硬，铁块一样跌落水底。&/p&&p&另有小部分鱼则是死于其他鱼的攻击，一些病鱼体现出了异常的攻击性，甚至原本性情温和的草食鱼都不例外。这些病鱼会疯狂地进攻接近它的同类。我想尽办法，查遍了手头上的一切资料，排除掉了所有可能的病症，却仍然一筹莫展。&/p&&p&那段时间，罗鑫几乎每天都下水，清理各色死鱼的尸体。他是我们水族馆外聘的潜水员，工作了两个月不到。他是个怪人，宁可天天和鱼待在一起也不愿意和人交流。我印象中他总是耷拉着脑袋，眼神低垂而闪烁，就算在不得不说话的场合里，声音也小的像蚊子叫。&/p&&p&罗鑫最后一次下水，是为了把尼尔捞上岸。&/p&&p&尼尔是水族馆仅剩的一只海豚。原本有三只，分别是莫莫、考拉和尼尔。它们从小在这里长大，每个人都对他们感情很深。但是它们也病了。莫莫身上长出了奇怪的肉芽和藓状物；考拉则原因不明地急剧消瘦，尽管它每天都吃很多东西。两个月后，它们都离开了人世，只剩下精神萎靡的尼尔，整日逗留在水底，鲜少活动。&/p&&p&我打算把尼尔送去海豚专家那里看看。留在这里，它必死无疑。于是那天，我亲眼看着罗鑫穿上潜水服，套上脚蹼，带上氧气瓶，然后跳进了水里。&/p&&p&他的葬身之地。&/p&&p&我们怎么都想不到，原本活泼乖巧，和罗鑫最是亲近的尼尔，竟然会如此地嗜血而癫狂。尼尔仿佛是被罗鑫的下水声激怒了，意外地突然活动起来。要知道，此前的两天里它甚至都没怎么动，可那时，它却在两秒内就达到了它健康时也达不到的速度。罗鑫根本没法闪避，尼尔快的像是一枚鱼雷。&/p&&p&罗鑫的氧气面罩瞬间被撞飞，巨量的气泡从中冒出，在水下滚滚翻涌。他的身体连轴转了好几圈，之后就一动不动了。&/p&&p&“快，快！快把他捞上来！”我嘶吼道。&/p&&p&小张一个猛子扎进水里，向罗鑫潜去。但尼尔立即转身，如离弦之箭般射来，仿佛不允许他人接近。不得已，小张只能浮上水面。&/p&&p&我们眼睁睁地看着它咬住了罗鑫的脚踝，拖着他的身体向水底游去。每个人都知道，他恐怕是凶多吉少了。&/p&&p&罗鑫再次浮出水面已经是二十分钟以后。尼尔终于精疲力尽，其他几位潜水员趁此机会从它的吻中夺下了罗鑫。此前，它一直在和罗鑫玩耍，或者说，是在玩弄罗鑫布偶一样的身体。&/p&&p&尸检结果于一周后出具。罗鑫的胸部遭受剧烈撞击，因此休克失去行动能力，而直接死因则是氧气面罩脱落导致的窒息。我对结果没有异议，我唯一耿耿于怀的是他的表情。&/p&&p&捞起罗鑫后，照理说我应当感到悲痛、难过或者自责，可是，我首先感受到的，却