用适当的方法判别判断级数的敛散性例题（1）（3）（6）谢谢

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2021-06-06 13:18 标签： 判断级数的敛散性例题

一、数项级数的审敛法 3. 任意项级數审敛法 例1. 若级数 例3. 设正项级数 例4. 设级数 例5.讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性: 二、求幂级数收敛域的方法 例. 三、幂级数和函数的求法 例3. 求幂级数 练习: 四、函数的幂级数和傅式级数展开法 2) 设 例8 解 例9 分析 例10 解 * 习 题 课 三、幂级数和函数的求法 四、函数的幂级数和傅式级数 展開法 一、数项级数的审敛法 二、求幂级数收敛域的方法 求和 展开 (在收敛域内进行) 基本问题：判别敛散； 求收敛域； 求和函数； 级数展开. 为傅里叶级数. 为傅氏系数) 时, 时为数项级数; 时为幂级数; 1. 利用部分和数列的极限判别判断级数的敛散性例题 2. 正项级数审敛法 必要条件 不满足 发 散 滿足 比值审敛法 根值审敛法 收 敛 发 散 不定 比较审敛法 用它法判别 积分审敛法 部分和极限 为收敛级数 Leibniz审敛法: 若 且 则交错级数 收敛 , 概念: 且余项 若 收敛 , 称 绝对收敛 若 发散 , 称 条件收敛 均收敛 , 且 证明级数 收敛 . 证: 则由题设 收敛 收敛 收敛 例2. 判别下列判断级数的敛散性例题: 提示: (1) 据比较审敛法嘚极限形式, 原级数发散 . ∴原级数发散 故原级数收敛 发散, 收敛, 用洛必达法则 , 原级数发散 时收敛 ; 时, 为 p 级数 时收敛; 时发散. 时发散. 和 也收敛 . 法1 由题設 根据比较审敛法的极限形式知结论正确. 都收敛, 证明级数 法2 因 故存在 N > 0, 当n >N 时 从而 再利用比较法可得结论 收敛 , 且 是否也收敛说明理由. 但对任意项级数却不一定收敛 . 问级数 提示: 对正项级数,由比较判别法可知 级数 收敛 , 收敛, 级数 发散 . 例如, 取 提示: (1) p >1 时, 绝对收敛 ; 0 < p≤1 时, 条件收敛 ; p≤0 时, 发散 . (2) 故原級数绝对收敛. 因 单调递减, 且 但对 所以原级数仅条件收敛 . 由Leibniz审敛法知级数收敛 ; 因 所以原级数绝对收敛 . ? 标准形式幂级数: 先求收敛半径 R : 再讨论 ? 非標准形式幂级数 通过换元转化为标准形式 直接用比值法或根值法 处的敛散性 . 求下列级数的敛散域: 练习: (自证) 解: 当 因此级数在端点发散 , 时, 时原級数收敛 . 故收敛域为 解: 因 故收敛域为 级数收敛; 一般项 不趋于0, 级数发散; 解: 分别考虑偶次幂与奇次幂组成的级数 极限不存在 ∵ 原级数 = ∴ 其收敛半径 注意: 此题 ? 求部分和式极限 求和 ?逐项求导或求积分 逐项求导或求积分 对和函数求积或求导 难 直接求和: 直接变换, 间接求和: 转化成幂级数求囷, 再代值 求部分和等 ? 初等变换法: 分解、套用公式 （在收敛区间内） ? 数项级数 求和 易求出级数的收敛域为 解: 原式= 的和 . 求级数 ? 直接展开法 ? 间接展开法 练习: 1) 将函数 展开成 x 的幂级数. — 利用已知展式的函数及幂级数性质 — 利用泰勒公式 解: 1. 函数的幂级数展开法

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