如果一个函数在某点可导，该函数在此点邻域内是否可导?

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2022-05-21 15:19 标签： 函数在某点可导说明什么

上节课我们学习了一元函数极值问题，主要分为三大定理以及解题步骤分别是

定理1就是说：可导函数f(x)的极值点必定是它的驻点，但反过来，函数的驻点不一定是极值点。列如,f(x)=x^3,f'(0)=0,因此x=0是这可导函数的驻点，但x=0却不是这函数的极值点。所以，函数的驻点只是可能的极值点。此外，函数在它的导数不存在的点处也可能取得极值。列如，函数f(x)=lxl在点x=0处不可导，但函数在该点取得极小值。

定理2(第一充分条件)  设函数f(x)在xo处连续，且在xo的某去心邻域U(xo,v)内可导。

(2)求出f(x)的全部驻点与不可导点；

(3)考察f'(x)的符号在每个驻点或不可导点的左、右邻近的情形，以确定该点是否为极值点；如果是极值点，进一步确定是极大值点还是极小值点；

(4)求出各极值点的函数值，就得函数f(x)的全部极值。

希望同学们能够结合题目来更加深入的理解三大定理，今天我们学习最大值与最小值问题

在工农业生产、工程技术及科学实验中，常常会遇到这样一类问题：在一定条件下，怎样使“产品最多”“成本最低”“用料最省”“效率最高”等问题，这类问题在数学上有时可 归结为求某一函数(通常称为目标函数)的最大值或最小值问题。

假定函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内除有限个点外可导，且至多有有限个驻点。在上述条件下，我们来讨论f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的求法。

首先，由闭区间上连续函数的性质可知，f(x)在[a,b]上的最大值和最小值一定存在。

其次，如果最大值(或最小值)f(xo)在开区间(a,b)内的点xo处取得，那么按f(x)在开区间内除有限个点外可导且至多有有限个驻点的假定，可知f(xo)一定也是f(x)的极大值(或极小值),从而xo一定是f(x)的驻点或不可导点。又f(x)的最大值和最小值也可能在区间的端点处取得。因此，可用如下方法求f(x)在[a,b]上的最大值和最小值。

(1)求出f(x)在(a,b)内的驻点及不可导点；

(2)计算f(x)在上述驻点、不可导点处的函数值及f(a),f(b);

(3)比较(2)中诸值得大小，其中最大的便是f(x)在[a,b]上的最大值，最小的便是f(x)在[a,b]上的最小值。

注意：在求函数的最大值(最小值)时，特别值得指出的是下述情形：f(x)在一个区间(有限或无线，开或闭)内可导且只有一个驻点xo，并且这个驻点xo是函数f(x)的极值点，那么，当f(xo)时极大值时，f(xo)就是f(x)在该区间上的最大值(图3-15(a)所示)；当f(xo)是极小值时，f(xo)就是f(x)在该区间上的最小值(图3-15(b)),在应用问题中往往遇到这样的情形。

情形1：设f(x)在[a,b]连续，则f(x)在[a,b]取得最大值M，最小值m。若f(x)在(a,b)可导或只有个别的不可导点，则我们可用以下方法步骤求出M和m及相应的最大值点与最小值点：

(2)算出f(x)在这些点的函数值；

(3)若有不可导点，算出f(x)在这些点的函数值；

最后比较所有这些函数值，最大者为最大值，最小者为最小值。

今天的一元函数最值问题就结束了，题目不是很多，三大情形，希望大家能够掌握，后续我们会通过大量的题目来帮助大家进行理解和掌握。

下节课我们学习第六章内容一元函数的泰勒公式及其应用。

1.当然不一样.你说的没错,函数在某点可导,就暗示了在该点附近有定义,但这并不意味着函数在这个邻域内的所有点都可导.我给你举个不常见的例子.设函数f(x)这样取值：当x是无理数的时候,f(x)总是为零；x是有理数的时候,如果设x = p/q,p,q 都是整数,那么f(x)=p/q^2.可以证明这个函数在x=0是可导的,导数为零,但是在0的任何一个邻域内,只要x不等于0,函数在x这点就不可导.具体证明有些复杂,但基本的想法是,观察：
这个比例等于 1/q,如果x是有理数；等于0,如果x是无理数.当x无限趋近于0的时候,如果x全都是有理数这种方式趋近,由于每个有理数都表示为p/q这种形式,所以要趋于零,q必须趋于无穷大,此时f(x)/x = 1/q 就趋于零,恰好是上面说的导数为零；如果x全都是以无理数这种方式趋近,由于f(x)总是为零,那么上面这个比例的极限就自然为零.所以无论你以如何方式趋近于零,上面这个比例总是会趋于0的,因此函数在0点可导,导数为零.
同时,这个函数在所有的非零有理数点都是不连续的,而任何一个0的领域内都必然包含非零有理数点,所以这个函数在0的任何一个邻域内都不能说可导.所以点可导和邻域可导,对这个函数而言不是等价的：在0点可导,但在0的邻域内不可导.这也不违背可导必然连续的常识,因为这个常识是说,如果在某点可导,那么在某点连续；如果邻域可导,那么邻域连续.这个函数的确是在x=0连续的,你自己可以验证.
函数在某邻域内可导,当然暗示函数必须在这个邻域内所有点都有定义了.
2.这个也用上面这个例子搞定.含义是不一样的,f(x)在x=0连续,但在0的任何一个邻域内,不管多大多小,都不是连续的,因为总会在这个邻域内找到一个不连续点.
3.这个也是有区别的.如果导函数连续,那这两个显然是相等的,问题在于导函数不连续的情况.区分这个就一定要牢记定义,定义不清楚的话后面做什么都白搭.设
这是一个分段函数,而且在0这点显然不连续.但我们照样还是可以按照定义去求0点的导数右极限以及右导数的：
严格按照导数定义来,右导数是：
所以,导数右极限 不等于 右导数.虽然99%的考研题都不会涉及这种细微的差别,许多人也喜欢用先求导然后带数这种办法来求导数,但是心里还是要知道这么做都是有条件的.像这里,你如果先求导f'(x) = 3,然后代入x=0,然后说在0这点右导数是3,就显然错误了.
4.说条件,条件就来了.这个定理就告诉你,想像上面这么省事的求某点的导数吗?有个条件,就是函数必须在这点连续.其实这个直觉非常简单,什么情况下导数和导数极限不同?根据定义式,无非就是连接(x,f(x))和(x0,f(x0))这条直线的斜率在x趋于x0时突然有很大的变化时,才会发生这种情况.而如果函数在这点连续了,那么无论你怎么画这条直线,它的斜率的极限都是会渐渐逼近这点的导数的.反过来,像上面这个例子,函数在0点不连续,你自己可以画一画0右边的点和(0,f(0))这点的连线,随着x从右边逼近0,这个连线越来越垂直,也就是说斜率发生了突然的很大的变化,原因就在于函数在0这点不连续：函数值出现了跳跃,导致连线斜率也发生了跳跃,从而导函数的极限就不等于导数了.如果f(0)=0,函数值不跳,那斜率也自然不会跳,导数=3,也正好等于导数的极限.
5.端点连续当然有意义了,怎么会没有意义.端点连续就是存在单边的极限就可以了,这就是定义,判断也用这个判断：左端点连续等价于左端点函数值等于函数右极限,右端点连续等价于右端点函数值等于函数左极限.
至于端点可导的定义,也是一样的.只不过我们习惯说在邻域内可导,不说闭区间而已.如果一个函数在闭区间都可导了,那开区间就更不用说了.一般作为数学定理,我们都想用尽可能少的条件推出尽可能多的结论,既然开区间可导就足够推出我们需要的结果,为何还要把条件设定成更加强的闭区间可导呢?
记住,讨论某点的可导性,只要该点在函数定义域的内部,不是端点,就是在完整的邻域内讨论可导性；如果该点是端点,那么就讨论单边邻域的可导性,也就是左导数或者右导数.

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