大学高等数学问题，二重积分求解答

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2022-06-01 12:16 标签： 二重积分dxdy的顺序

请教高等数学高手，帮忙解答一个二重积分，积分区域为一个椭圆，椭圆为标准方程

二重积分dxdy，积分区域是一个椭圆，被积函数是Y的平方，那么先对X积分，在对Y积分，和先对Y积分，在对X积

应该是一样的啊，只是计算的复杂性不一样，另外可以用奇偶性和对称性来简化计算

椭圆区域对1的二重积分是椭圆的周长还是面积？

应该是面积；面积对应2重积分，弧长对应1重积分；
但是没有看到题目，不知道你具体说的是什么。


曲顶柱体：是以一个有界的平面区域 为底，以区域的边界 为准线，垂直于底的直线为母线的柱面为侧面，曲面为顶的柱体。一般取底面 Ｄ 所在平面为 坐标面，母线指向曲顶一侧的方向为 轴正向构建空间直角坐标系，这使得曲顶曲面一般描述为二元函数表达式。

二、二重积分的建模思想与模型构建步骤

分割取近似，作和求极限

对于分布在一个平面区域上的可求和的量的计算问题可以考虑构建二重积分模型来计算：

公式中 表示小区域面积，括号中 表示区域，其中 表示所有 的直径，即任意边界上两点的连线的长度最大值.

三、二重积分的几何意义与物理意义

(1) 当 ，则表示积分区域 的面积；

(2) 当 ，则表示以积分区域 为底，以 的边界为准线，母线平行于 轴的柱面为侧面，顶为 的曲顶柱体的体积.

当 ，则表示面密度为 ，占有平面区域 的平面薄片的质量.

【注】积分的意义根据被积函数，或者模型描述的背景不同而有不同实际意义.

定理1：若函数 在有界闭区域 上连续，则 在 上可积.

定理2：若函数 在有界闭区域 上除去有限个点或有限条光滑曲线外都连续，则 在 上可积.

五、二重积分的积分性质

性质1 (线性运算性质)设函数 , 在有界闭区域 上可积， , 为实常数，则有

【注】在应用中，利用线性运算性质可以拆分积分；利用逆运算，也可以将多个积分合并为一个积分. 即同一区域上的两个不同函数的积分和，可以合并为被积函数的和在该积分区域上的积分. 对于性质2的可加性具有类似结论.

性质2 (对积分区域的可加性)将有界闭区域 分成除边界外互不重叠的两个闭子区域 和 ，若函数 在区域 上可积，则有

性质3 (保序性)(1) 若函数 在有界闭区域 上可积且非负，则

(2) 若函数 , 在有界闭区域 上可积，且在 上有 ，则

性质4 (估值定理)若函数 在有界闭区域 上可积，且存在常数 和 使得在 上成立 ，则

其中 为区域 的面积．

若函数 在有界闭区域 上连续且非负， 为 的闭子区域，则有

性质5 (积分中值定理)设函数 在有界闭区域 上连续，则至少存在一点 ，使得

其中 为区域 的面积． 为区域 上函数 的平均值.

性质6 (偶倍奇零)设函数 在有界闭区域 上连续.

  • 如果 关于 轴对称，记其 轴上方区域为 ，则有


  • 如果 关于 轴对称，记其 轴右侧区域为 ，则有


  • 如果积分区域 关于原点对称，则二重积分

其中 为 的关于原点对称的一半区域，比如 轴右侧部分．

【注】以上性质就是“偶倍奇零”的计算性质，注意使用时，积分区域的对称性与被积函数的奇偶性之间要匹配。即积分区域关于 x 轴对称，被积函数关于 y 变量有奇偶性；积分区域关于 y 轴对称，被积函数关于 x 变量有奇偶性，则积分偶倍奇零。另外，当被积函数整体不具有奇偶性，而积分区域具有对称性时，在被积函数通过线性运算拆分为几个函数的和时，可以考虑部分函数的偶倍奇零来简化积分模型；类似，对于积分区域也可以通过分割方式分割为部分具有对称性的区域来考察“偶倍奇零”计算性质简化积分计算。

性质7 (轮换对称性)设函数 在有界闭区域 上连续，积分区域关于直线 轴对称，直线 轴下方部分记作 ，直线 轴上方部分记作 ，则有

【注】积分区域具有轮换对称性除了图形上直观进行判定外，可以考察描述积分区域的边界曲线方程，或者不等式，如果轮换它们的所有变量，即将所有描述区域的表达式中的所有换成 ， 换成 ，表达式不发生变化，或者说描述的区域不变，则积分区域具有轮换对称性，在具有轮换对称性的区域上积分，则被积函数轮换积分变量积分值不变.

六、利用二重积分定义计算数列极限

在二元函数在指定区域上可积的情况下，基于直角坐标系下均分积分区域的二重积分的积分和定义式来计算累次求和数列的极限，具体形式如下：

也就是当累和极限表达式可以写成 的函数乘以 的乘积时，可以直接将 分别替换为 变量得到被积函数表达式，直接得到极限值就为积分区域

上对其求二重积分. 当然也有其他变形式，比如取点的位置与分割的份数不同会有不同的求和式.

七、不计算借助于二重积分性质来比较积分大小

问题类型1：积分区域相同，被积函数不同，通过分析被积函数的特征与彼此间的关系，比较同一积分区域上被积函数的大小，借助积分的保序性来比较积分的大小。

问题类型2：被积函数相同，积分区域不同，通过分析积分区域的特征及相互关系，借助积分对积分区域的可加性和保序性来比较积分的大小。

八、用二重积分中值定理求解问题特征

如果问题中包含二重积分模型，同时条件或者结论中还包含有积分区域的面积或被积函数表达式，则该问题可以考虑使用二重积分中值定理来求解。二重积分中值定理架起了二重积分与被积函数之间的桥梁，使得二重积分可以用被积函数直接描述，也即使得某些二重积分的问题可以转换为被积函数来讨论.



























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1、第二节 二重积分的计算,一 直角坐标系中的计算方法,二 极坐标系中的计算方法,一 直角坐标系中的计算方法,计算二重积分的基本思想：化为两次定积分,分别用平行于x轴和y轴的直线对区域进行分割，如图,x,y,可见，除边缘外，其余均为矩形，其面积为,可以证明,其中dxdy称为面积元素,利用二重积分的几何意义化二重积分为二次积分,1）当积分区域为,以下均设函数 且在D上连续,如图所示,相应的曲顶柱体如右图,在区间a，b内任取一点x，过此点作与yoz面平行的平面，它与曲顶柱体相交得到一个一个曲边梯形,底为,高为,其面积为,所以根据平行截面面积为已知的立体的立体公式，得,于是，得二重积分的计算公式,类似地

2、，若积分区域为,如右图所示,则二重积分的计算,公式为,总结：二重积分的计算就是转化为二次定积 分，显然，确定积分次序和积分上、下限是关 键。这主要由积分区域D所确定。所谓,先积线，后积点,以第一种情况为例加以说明,如图,x,区间a,b是x的取值范围,在此区间内任取一点x，过该点自下而上作一条平行于y轴的射线,后穿过的边界 是y的积分上限,第二种情形可同理讨论,对于其他情形，都可化为这两种情况加以转化,如下图,不妨用两种情形分别进行计算，加以比较,法一 先y后x,1,将积分区域投影到x轴上，得到x的范围0，1,x,所以,法二,将积分区域投影到y轴上，得到y的范围0，1,1,y,于是,所以,小结：

3、在二重积分的计算中，有时积分次 序的选择显得相当重要，因而具体计算时，应注 意观察积分区域的特征和被积函数的特点，选择 恰当的积分次序，以便使计算尽可能简单,解：解方程组,得这条直线和抛物线的交点为 (8,4),(2,-2)，如右图,1）先对y后对x积分,8,得,所以,2,4,所以,小结：显然1）较2）麻烦,解：此三条直线的交点分别为(1,1)，(0,1)，(0,0)，所围区域如右,先对x后对y积分,注意：若先对y后对x积分,的原函数无法用初等函数表示出来，因而此二重积分不能计算出来,例4 交换下列二重积分的积分次序,解：这是先对y后对x的积分，积分区域为,故改变积分次序后得,二、极坐标系中的

4、计算方法,1 直角坐标系中的二重积分化为极坐标系中的二重积分,如图所示的极坐标系中 的积分区域D,过极点O引 射线和以极点为圆心的同心 圆,它们将区域D分成许多,在圆周 上任取一点,其中,设其直角坐标为,它们的关系为,所以,因此,此公式可将直角坐标系下的二重积分化为极坐标系 下的二重积分,其中 为极坐标系中的面积元素,2 化为二次积分,一般均是先对r积分再对积分，因而主要是 确定r、 的积分上下限，分情况讨论,1）极点在区域D外，如图,则,2）极点在区域D的边界上，如图,则,1）极点在区域D内，如图,则,解：积分区域是如图所示的环域，用极坐标计算方便,因而,例6 计算 ，其中,解：积分区域是如图所示的圆域,则,一般地，当积分区域为圆域、环域或它们的 一部分，以及被积函数中含有 时，多采用 极坐标系下的计算会比较方便

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