一道数学题？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2022-07-22 14:40 标签： 数学题解答

昨天在雪球发了一个概率题，题目如下：

假定存在某种疾病，每1000人中就有1人患上该疾病；该疾病可以被检测出来，检测准确率为99%。如果一个人已被测出是阳性。问：他真的得了该疾病的概率是多少？

很多朋友给出的答案是99%。

但正确答案是：约9%。

这个题目有多种理解方式，我提供两种计算思路，不一定是最佳思路。

第一种，是正儿八经地画概率树。

这个图是我随手画的，非常简陋，大家凑合看就好。

如图所示，显示阳性有两种情况：

1、有病——阳性，即【真阳性】

2、没病-阳性，即【假阳性】

题目给定条件是【已知阳性】，求在此条件下：【真阳性】的概率。

第二种，是一种简便算法。

假定有1000人，其中有1生病，其余999人为健康。

因此，当已知阳性，求此条件下真阳性的概率是：1/(1+9.99)

如果四舍五入，将9.99视为10，就会算出1/11（约9.091%）

如果不四舍五入，就会算出来：约9.099%

上述两种算法得出的结果都是约为9%，与直觉反应出来的 99%相去甚远。

这里的关键是，能否理解这是一个条件概率，随着【已知阳性】这个条件的出现，概率分布已经出现巨大改变，不能再按照直觉而去推断。

我昨天发这个贴的时候，其实关注点不是在题目本身，而是想以此说明，人脑其实天生不擅长理解随机性、概率这些东西，更别提以概率的方式来处理【预测】问题。

这个题目只是一个简单的条件概率模型，其难度最多是高中数学水平，但第一次就给出正确答案的人的很少。

昨晚一个有趣的现象是：

一个数学系毕业的朋友，给出的第一个答案是：99%；

一个统计学毕业的朋友，给出的第一个答案是：99%。

——太有趣了，数学很好的人也会被坑。

另一个有趣的现象是：一旦我告诉他们答案不对，很多人第二或第三次就能给出正确答案。

这个例子充分说明了卡尼曼在《思考快与慢》里说的，人脑思考问题有两个系统：

系统1：它的运行是无意识且快速的，完全处于自主控制状态，无法关闭。

系统2：它需要将注意力转移到需要费脑力的活动上来，它的运行通常与行为、选择和专注等主观体验想关联。

人类只有遇到觉得困难的问题、系统1碰壁的时候，才会调动系统2。

所以，昨晚没有答对的朋友大部分是低估了题目的难度，试图直接用系统1来解决问题，但在碰壁后，才认真起来，启用系统2，认真计算了一次。

我完全相信，如果他们不是在手机上看题目，而是拿着纸笔坐在考场，这个题目对他们来说就是湿湿碎而已。

如果面对这么简单的概率模型，人脑都容易下意识给出一个错的离谱的答案（99% VS 9%），那在现实生活中、在股票投资过程中，人脑对概率的估计，又有多少成把握呢？

我相信，投资者总是过于高估自己的预测能力，其根源是人脑无法很好地理解随机性、概率思维。

一个常见现象是，投资者容易认为：在某时某刻，某股的下跌概率只有30%，但是上涨概率有70%。——这种概率估算有什么依据吗？有什么逻辑和计算吗？没有，就是拍脑袋而已。

另一个常见现象是，投资者和财经媒体，非常热衷于统计历史上“XX事件发生后次日的大盘涨跌的数据”，以此计算出一个【概率】，用来预测第二天大盘的涨跌概率。

比如，历史上某事发生了10次，其中有7次第二天大盘是跌的，于是媒体就会宣称，由于今天发生了该事件，因此明天大盘有70%的概率是跌的。

这是我见过最扯的概率计算，连高中生都不会接受。我建议读者无视这类“概率”分析。

此外，在玩这个游戏过程中有两点启发：

1、如果你低估问题的难度，你会更依赖系统1，这增加了你掉坑的概率；

2、不要太相信自己的概率估计，不要太相信自己对未来的预测（哪怕你已经觉得自己深思熟虑）

这个题目是我昨天在看Nick Sleep 的资料时看到的，但他又是从塔勒布那看到的。

塔勒布在《随机漫步的傻瓜》中，给出了一道一模一样的题目。

“我在行为研究的文献中至少找到偏差十分严重的40个例子。以下是个很有名的测验，也是叫医学界尴尬不已的实例。接下来的问题是给医生做的，引用自本内特写得非常好的一本书，叫做《你赌对了吗？》。

检验某种疾病时有5%的概率产生误报。全部人口有1‰的概率罹患这种疾病。不管是否怀疑罹患这种疾病，随机检测一群人之后，发现有个病患的检测结果呈现阳性，那么这位病患染上这种疾病的概率有多少？”

塔勒布给出的答案如下：

“大部分医生只考虑检测的准确率为95%，而回答95%。正确的答案是病患生病且检测发现有病的条件概率，其结果接近2%。结果有不到1/5的专业人士答对。

我来简化这个答案。假设没有漏报存在。1000个受检的病患中，预料将有一位罹患这种疾病。999位健康的病患中，检测的结果将有约50位染病，因为准确率是95%。正确的答案应该是，随机选取的某人，检测呈现阳性且确实染病的概率如下：

不妨想想，这一辈子你曾有多少次被告知染上某种疾病，需要接受某种药物治疗且忍受可怕的副作用，而实际上你真的罹患那种疾病的概率只有2%！”

在一个电视节目上，挑战者来到最后一关，他要从三扇门里选一扇门。其中一扇门背后是奖品，一辆汽车的钥匙；其余两扇门后面是一只羊。

现在，挑战者选了其中一扇门，但还没打开。

此时，主持人从没被选中的两扇门里，打开了一道门开给挑战者看：呐，这是一只羊。

然后，主持赋予挑战者一个选择权：你要不要换一道门？

这个题目很有名，也非常有趣，答案也是反直觉的。

我迟些会在评论里放相关的讨论文章。

来源： 责任编辑：张程

核心提示：其实道理很简单，这样可以避免人们掉进去。但是为什么呢？或许可以用数学的方法来解释。

6月9日报道 西媒称，人们都知道井盖通常是圆的，但没人深究过为什么。

据西班牙《国家报》网站6月7日报道，其实道理很简单，这样可以避免人们掉进去。但是为什么呢？或许可以用数学的方法来解释。

由于圆形的直径是一定的，也就是说圆形具有定宽性，因此当把圆形的井盖放到井口时，井盖就不会掉到井底。如果井盖是矩形，那么井盖的宽度就不是一定的。由矩形的对角线长度大于任何一条边，因此矩形的井盖就有可能掉进井底。虽然在城市中也会看到一些矩形的井盖，但是这样的窨井往往不深，即便井盖滑入，取出来也不难。

因此如果窨井较深，又想避免麻烦，最好使用圆形井盖。但是也并非没有其他选择，例如德国工程师弗朗茨·勒洛在19世纪设计的勒洛三角形。以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形。与圆形一样，勒洛三角形也具有定宽性。虽然这种图形曾在达芬奇的作品当中，但是明确地成为研究对象还是在19世纪。

具有类似圆的定宽性的曲线称为定宽曲线。而圆形和勒洛三角形都是典型的定宽曲线。所有奇数边的正多边形，都可以生成其等宽曲线，因此可以说存在无数的勒洛多边形，而勒洛三角形是除了圆形之外最简单易懂的勒洛多边形。

由于这些图形具有定宽的属性，因此在生活中的很多情况下都能用得到。例如可以将硬币制造成除了圆形以外的勒洛多边形，因为这样的硬币同样适用于投币自动售卖机或投币游戏机的识别货币系统。英国的硬币20便士和50便士都用到了勒洛多边形。

此外，还可以将钻头的形状制造成圆形以外的勒洛多边形。因为利用非圆形的勒洛多边形钻头可以钻出正方形孔。勒洛多边形也常用于建筑行业和铅笔的设计等很多领域。

回到文章的开头，显然井盖也可以制造成除了圆形之外的勒洛多边形，但是很少有人舍近求远，制造一个形状奇异的井盖。不过，可以肯定的是，美国旧金山确实存在这样一个勒洛多边形井盖。（编译/刘丽菲）

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