扩散第二方程解计算问题？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2022-07-25 01:13 标签： 扩散方程公式
1、课题来源与背景： 自从上世纪三十年代末 Fisher等人发现可以通过反应扩散方程描述波的传播现象以来,反应扩散方程的行波解已被广泛用来描述存在于物理、化学、生物等领域的大量波的传播现象,例如在燃烧理论、化学反应、种群入侵、传染病空间传播等学科的实验观察和数值计算中已经发现了具有多种不同形状水平集的非平面行波解,所以通过数学研究来寻找和刻画可能存在的非平面行波解就成为非常具有现实意义的问题。目前关于反应扩散方程,尤其是多个方程的耦合系统非平面波的研究尚属起步阶段,仍有大量问题亟待研究。 在高维空间中对反应扩散系统建立具有多种不同形状水平集的非平面行波解。进一步考虑对流项的影响,对双稳型和单稳型反应对流扩散方程建立非平面行波解的存在唯一性和稳定性,理解和分析对流项对非平面波存在性和定性性质的影响。把对空间齐次反应扩散方程建立的非平面波的概念推广到空间周期反应扩散方程,建立沿不同方向传播的脉动行波解的交错作用所产生的新的行波解。对受时滞影响的空间周期反应扩散方程,建立其脉动行波解的存在唯一性和稳定性,讨论时滞和空间周期等对行波解的性质(如单调性)、最小波速等的影响。这些研究一方面发展了已有方法,对非平面波的研究提供了新思路。 3、主要论点与论据 高维空间中反应扩散方程(组)的非平面波 在燃烧理论、化学等学科中发现了具有很多不同形状水平集的非平面行波解。随着对这一问题的研究越来越深入,一些困难的问题需要来解决,我们针对在这些问题展开了研究：第一个问题是如何在数学上严格证明在试验和数值模拟中发现的多面体火焰,第二问题是如何建立退化单稳型反应扩散方程以及非KPP型单稳方程的非平面波的存在性和稳定性。引入平面波的幂巧妙地构造了适当的上下解,进而利用比较原理及单调性方法等,建立了所研究问题的非平面波(二维V形波和三维棱锥波)的存在性和稳定性。特别地,利用一维平面行波解和二维V形行波解对棱锥形行波解进行了定性刻画：即沿着棱锥的棱的方向,该三维棱锥形行波解的水平集能够用平面行波解的组合来近似,而沿着棱锥的侧面并远离棱处,棱锥形行波解的水平集能够通过二维V形行波解来表示。研究了在三维以上空间中双稳型时间周期反应扩散方程的柱状对称波前解的存在性、不存在性及其定性性质。构造了一个棱锥形行波解的序列,通过取极限,得到了要求的柱状对称波,进一步利用反正法及单稳系统的渐近传播理论,获得了柱状对称行波解的一系列定性性质。特别地,确切地证明了该柱状对称波的水平集的渐近行为。利用相同的思想,对强竞争的两种群L-V系统建立了柱状对称波的存在性、不存在性和其他定性性质。 对反应扩散系统的问题作了深入研究,在假设反应扩散系统(或方程组)存在连接两个稳定平衡点的一维波的基础上,当一维波波速 时,对任意正数 ,证明了方程组具有波速为 的三维棱锥形波,并且是渐近稳定的。特别地,对三维棱锥形波来说,发现沿着棱的方向,该三维棱锥形波近似于二维V形波,而沿着棱锥的侧面并远离棱处,则近似于一维波。 在三维空间中研究了具有时空周期的对流项和非线性项的单稳型反应扩散方程的非平面行波解的存在性、不存在性、单调性及其最小波速对于系数的依赖性,并进一步将我们的结果推广到更高维的空间中。具体而言,首先通过构造合适的上解和下解,得到存在最小波速,当波速大于等于该最小波速时,反应扩散方程存在在正负无穷处满足棱锥形条件的非平面波;其次,利用反应扩散方程解的渐近传播速度,得到当波速小于该最小波速时,方程不存在非平面波;再其次,利用比较原理证明了非平面波的单调性;最后证明了最小波速对于系数的依赖性。研究了空间周期介质中具有双稳型非线性项的反应对流扩散方程的整体解问题,这里的整体解指时间变量在整个实数域上都有定义的解。假设方程具有三个平衡点,两个稳定一个不稳定。通过对连接任意两个平衡点之间的脉动型波前解建立指数渐进行为,对方程建立了适当的上下解,进而利用比较原理建立了方程的多种类型的脉动型整体解。 4、创见与创新 本项目的特色之处在于将从非平面行波解的角度研究波的传播现象,这不同于大多数关于行波解的研究是针对一维波或平面波。本项目对于空间周期反应扩散方程的行波解研究是考虑沿不同方向传播的脉动行波解相互作用产生的新的行波解,而不是考虑沿一个方向传播的脉动行波解。 5、社会经济效益,存在的问题 项目研究成果主要是数学理论结果及对一些非线性现象的研究,对传染病预防和控制具有一定的指导意义 6、历年获奖情况 无

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