求极限lim的固定公式，求解过程

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2022-10-16 03:07 标签： 求极限lim的固定公式

用定积分求极限；用幂级数求极限；利用简单初等函数(尤其是基本初等函数)的麦克劳林展开式，通常可以得到数列极限的一些特殊形式。级数的收敛性被用来判断极限，因为级数和级数在形式上可以相互转化。

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. . 函数的极限的求解方法 摘 要：本文介绍了计算函数极限的几种方法，讨论如何运用已掌握的知识方法计算极限． 关键词：零因子：初等法：两个重要极限 ：等价无穷小： 等价无穷小替换 ：函数的连续性 ：法 。 引 言 　　极限思想是许多科学领域的重要思想之一. 因为极限的重要性，从而怎样求极限也显得尤其重要. 对于一些复杂极限，直接按照极限的定义来求就显得非常困难，不仅计算量大，而且不一定能求出结果. 为了解决求极限的问题，有不少学者曾探讨了计算极限的方法 . 本文也介绍了计算极限的几种方法，并对文献结论进行了推广，讨论如何利用我们已有的知识计算极限，并且以实例来阐述方法中蕴涵的数学思想. 函数的极限主要表现在两个方面： 一、自变量任意接近于有限值，或讲趋向（于）（记）时，相应的函数值的变化情况. 二、当自变量的绝对值无限增大，或讲趋向无穷大（记）时，相应的函数值的变化情况. 相关知识点 （一）“”形： 定义1：如果对（不论它多么小），总，使得对于适合不等式的一切所对应的函数值满足：，就称常数为函数当时的极限，记为 ，或 （当时） 注1：“与充分接近”在定义中表现为：，有，即.显然越小，与接近就越好，此与数列极限中的所起的作用是一样的，它也依赖于.一般地，越小，相应地也小一些. 2：定义中表示，这说明当时，有无限与在点（是否有）的定义无关（可以无定义，即使有定义，与值也无关）. 3：几何解释：对，作两条平行直线.由定义，对此.当，且时，有.即函数的图形夹在直线之间（可能除外）.换言之：当时，.可见不唯一！ 例1证明 . 证明：对， 因为所以 [此处，即考虑附近的情况，故不妨限制为， 即，]. 因为，要使,只须 ，即.取（利用图形可解释）， 当时，有. 定理1：（保号性）设， 若，则，当时，. 若，必有. 注：在(i)中的“”，“”不能改为“”，“”. 在(ii)中，若，未必有. 定义2：对，，当时，[当时]，有.这时就称为当时的左[右]极限，记为或.[或]. 定理2：（充要条件）. （二）“”形： 定义3：设当时是有定义的，若对， 当时，有，就称为当时的极限， 记为或（当时）. 注1：设在上有定义，若对，当时，有，就称为当时的极限，记为，或（当）（，或（当））. 2：（充要条件）. 3：若，就称为的图形的水平渐近线（若或，有类似的渐近线）. 例2 证明. 证明：对，因为，所以要使得，只须，故取，所以当时，有，所以. （三） 无穷小与无穷大 一、无穷小 定义1：对若，使得当时，有成立，就称为当时的无穷小，记为. 注 1：除上两种之外，还有的情形. 2：无穷小不是一个数，而是一个特殊的函数（极限为0），不要将其与非常小的数混淆，因为任一常数不可能任意地小，除非是0函数，由此得：0是唯一可作为无穷小的常数. 定理1：当自变量在同一变化过程（或）中时： 具有极限的函数等于其极限与一个无穷小之和， 即：为的极限为无穷小. 若一函数可表示为一常数与无穷小之和，那么该常数就是其极限. 二、无穷大 定义2：若对，使得当时， 有，就称当时的无穷大， 记作:. 注1：同理还有时的定义. 2：无穷大也不是一个数，不要将其与非常大的数混淆. 3：若或，按通常意义将，的极限不存在. 定理2：当自变量在同一变化过程中时， （i）若为无穷大，则为无穷小. （ii）若为无穷小，且，则为无穷大. （四）函数极限运算法则 由极限定义直接来求极限是不可取的，因此需寻求一些方法来求极限. 定理1：有限个无穷小的和仍为无穷小，即设 注1：与都表示函数与，而不是常数. 2： “”下放没标自变量的变化过程，这说明对及 均成立，但须同一过程. 定理2：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小，即设有界，. 推论1：常数与无穷小的乘积仍为无穷小，即若为常数，. 推论2：有限个无穷小的乘积仍为无穷小，设 . 定理3：若，则存在， 且. 注：本定理可推广到有限个函数的情形. 定理4：若，则存在，且 . 推论1：（为常数）. 推论2：（为正整数）. 定理5：设，则. 定理6：如果，且，则. 推论1：设为一多项式，当 . 推论2：设均为多项式，且，由定理5，. 例3 .（利用定理3） 例4 （因为）. 注：若，则不能用推论2来求极限，需采用其它手段. 例5 求.（消去零因子法） 解：当时，分子、分母均趋于0，因为，约去公因子， 所以 . 例6 求. 解：当全没有极限，故不能直接用定理3，但当时， ，所以 . 例8 证明为的整数部分. 证明：先考虑，因为是有界函数，且当时，，所以由定理2. （五） 极限存在准

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