请问无穷小和0哪个大与0怎么区分？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2022-10-17 13:32 标签： 无穷小和0哪个大

“无穷大”及其相关事实浅析

摘要：本文基于无穷大和无穷小的数学定义，通过x→∞，1/x→0的逻辑分析，指出将趋于无穷大定义为无穷大存在逻辑严密性不高的问题。通过对导数与广义导数、概率、希尔伯特无穷旅馆问题的分析，指出它们无不涉及0、无穷小和无穷大，有重要的逻辑关联性。通过对极值收敛性、0与负值的关系等问题的讨论，阐述了0、无穷大与宇宙的内在关系，指出无穷大与0等价，是宇宙存在的状态。

关键词： 无穷大、无穷小、0、宇宙

两千多年前，古人惠施提出的“一尺之棰，日取其半，万世不竭”这一具有哲学意义的物理命题迄今仍然激发着许多哲人以及科学工作者的思考，是因为它涉及到无穷大。

德国数学家希尔伯特(David Hilbert)有句名言：“无穷大！任何一个其它问题都不能如此深刻地影响人类的精神；任何一个其它观点都不曾如此有效地激励人类的智力；但是，没有任何概念比无穷大更需要澄清……”。

无穷大是一个富有挑战性的问题，它既有宇宙这样一个看不着边际的客观实现摆在我们面前作为参照，又有人类意识中对永恒(精神世界的无穷大)的期许，凡此种种。本文力图从新的视角诠释“无穷大”及其相关事实问题。

2.  无穷大的定义及其存在的逻辑问题

无穷大与无穷小是一对神秘而复杂的问题，它们之间的关系如何？这个问题不仅仅涉及到数学，实质上还涉及到物理学和宇宙学。由于二者常常“结对”出现，这意味着它们还涉及到哲学。

数学中，无穷小的定义是[1]：

则函数f(x)称为当x→a时的无穷小量。

无穷大的定义是[1]：

则函数f(x)称为当x→a时的无穷大量。

如果我们令x=x-a，并给予f(x)一个最简单的函数形式，如f(x)=1/x，则式(2)与“x→0，1/x→∞”等价；当然，也与“x→∞，1/x→0”等价，

根据数学微积分理论关于无穷小的解释，对式(3)可以有这样理解：当x→∞时，1/x无限趋于0，但不等于0，因此1/x可以称为无穷小。根据逻辑对等原则，我们可以这么理解这时的x，那就是：x无限趋于无穷大，但不等于无穷大，因此x不能称为无穷大。显然，以式(2)定义无穷大缺乏逻辑严密性。

事实上，从逻辑对等角度，x→∞，1/x→0，说明x与1/x构成对立统一体；相应的，0与∞也构成对立统一体。即无穷小与无穷大不构成对立统一体，将其放在一起并列描述，是“对称性的概念”导致的偏差[2]，这说明无论是从数学上，还是从哲学上，对0、无穷小和无穷大还存在模糊认识。

3.  与无穷大有关的其他问题

微积分学之所以能够解决初等数学无法解决的问题，是由于它采用了极限的思想。极限思想贯穿于整个微积分的始终，微积分中的几乎所有的概念都离不开极限。

如导数的定义：设y=f(x)在直线上的点x0附近有定义，如果下式的极限

f(x)在x0点可导，记作：

x-x0→0，即为数学定义的无穷小量，因此，导数是基于“无穷小”的极值问题。

众所周知，导数存在的必要条件是函数连续光滑。文献[3]将导数的定义给予推广，从而引出“广义导数”问题，可以让我们对导数有更深刻的认识。方法是放宽对极限的要求，如只要求极限存在，而不要求极限有限，从而可以使更一般的函数可导。如针对下式定义的不连续函数：

如果说式(7)的极值“+∞”存在，则一个在0点不连续的函数，其导数却是存在的，这是一个非常有意义的推广，它告诉我们存在一个导数为∞的函数为阶跃函数。

但是，如果将函数式(6)代入式(7)，我们不难发现式(7)完全等价于式(3)，即这一广义导数的实质是x和1/x的极值问题。

若某一事件i发生的次数用Ni表示，各种事件发生的总次数用N表示，事件i发生的概率用Pi表示，则有如下关系：

式(8)是概率的定义式。说明随机现象的统计规律可以表述为随机事件发生具有确定的概率。

概率是基于无穷大的极值问题。因此，基于概率思想的一切理论分析都涉及无穷大。

从某种意义上讲，无穷大是经典数学与现代数学的一个分水岭。对于这样一个重要的问题，如果赋予某些新的理念，条理清楚，就会很容易成为经典。希尔伯特无穷旅馆问题就是一个经典故事：在有限的世界里，x显然不等于x+1；但在无穷世界，当x→∞时，x和x+1是相等的，即，

但是，我们不难发现，这个问题也完全等价于式(3)。

4  0、同一性与极值的收敛性问题

在讨论极值收敛性之前，我们先简要讨论一下自然数的话题。

自然数是满足人类生活以及从事劳动的计数要求而自然而然地产生的，因之称为自然数。但是如果我们问一下为什么“计数”能够得以进行？答案似乎非常简单，只要所计数的对象具有同一属性即可！这话固然不错，但是对于一个喜欢较真的人，答案也许就不是这样了。

Leibniz)曾说：世上没有两片相同的树叶。显然，这一观点有重要的科学事实作为依据。但是，如果基于这样的观点，每一个个体都是独一无二的，那么所有的“计数”都不能进行。换句话说，自然数的出现是人类忽略同一属性事物的某些差异(即将这类事物之间的差异视为0)，以同一性的思想加以处理的结果。也就是讲，同一性是自然数产生的关键。

言归正传，关于极值的收敛性问题，最具有代表性的典型例子是0/0型和∞/∞型未定式的极值收敛性问题。根据极值理论，一般来讲这类极值无非有三个结果：0，∞和某确定数值。在数学中，将极值等于0或某确定数值称为极值收敛，而将极值等于∞称为极值发散。

但是，如果我们用同一性的观点看极值收敛性的话，可以有完全不同的理解：如果极值等于某确定数值，那么意味着所比较的对象具有同一性，或者说所讨论的是同一性质的物理问题，具有相同物理量纲的问题；而极值等于0或∞，则意味着所比较的对象不具有同一性，或者说所讨论的不是同一性质的物理问题，物理量纲不同的问题，它们之间缺乏可比性，可归结为式(3)所讨论的范畴。

当然，如果极值的结果为数值不确定的函数，如

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不用听他们的，0就是无穷小，无穷小就是极限为0的变量，0算是特殊的无穷小，唯一的常量。

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