求不定积分计算器在线使用分

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2022-11-08 02:32 标签： 不定积分计算器在线使用

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1、求不定积分的几种基本方法,5.2 求不定积分的几种基本方法,一、 第一类换元法（凑微分法）,.,先看下例：,例1 求,解,设,则,求不定积分的几种基本方法,一般地，如果,是,的一个原函数，则,而如果,又是另一个变量,的函数,且,可微，那么根据复合函数的微分法，有,由此得,求不定积分的几种基本方法,是具有原函数,于是有如下定理：,定理1 设,可导，则,有换元公式,（5-2）,由此可见，一般地，如果积分,不能直接,利用利用基本积分公式计算，而其被积表达式,能表示为,的形式，且,较易计算，那么可令,求不定积分的几种基本方法,代入后有,这样就得到了,的原函数.这种积分称为第一类换元法.,由于在积分过程

2、中，先要从被积表达式中凑出一个积分,因子,因此第一类换元法也称为凑微分法.,例2 求,解,求不定积分的几种基本方法,再以,代入，即得,例3 求,解 被积函数,可看成,与,构成的复合,函数，虽没有,这个因子，但我们可以凑出这个因子：,，,如果令,便有,求不定积分的几种基本方法,，,一般地，对于积分,总可以作变量代换,，把它化为,求不定积分的几种基本方法,，,例4 求,解 令,则,求不定积分的几种基本方法,，,例5 求,解 令,则,有,凑微分与换元的目的是为了便于利用基本积分公式在,比较熟悉换元法后就可以略去设中间变量和换元的步骤,求不定积分的几种基本方法,例7 求,例6 求,解,解,求不定积分的

3、几种基本方法,解,例8 求,求不定积分的几种基本方法,例9 求,解,类似地可得,求不定积分的几种基本方法,例10 求,解,求不定积分的几种基本方法,例11 求,解,类似地可得,求不定积分的几种基本方法,类似地可得,例12 求,解,例13 求,解,求不定积分的几种基本方法,第一类换元法有如下几种常见的凑微分形式:,(1),(2),(3),(4),(5),(6),(7),(8),(9),(10),求不定积分的几种基本方法,二、 第二类换元法,第一类换元法是通过变量代换,，将积分,化为积分,第二类换元法是通,过变量代换,，将积分,化为积分,在求出后一个积分后,再以,反函数,代回去,这样换元积分公式可

4、表示为:,上述公式的成立是需要一定条件的，首先等式右边,的不定积分要存在，即被积函数,的,求不定积分的几种基本方法,有原函数；其次,的反函数,要存在.我们有下面的定理,定理2 设函数,连续,单调、可导，并且,，则有换元公式,(5-3),下面举例说明公式(5-3)的应用,求不定积分的几种基本方法,例14 求,解 遇到根式中是一次多项式时，可先通过适当的换,元将被积函数有理化，然后再积分,令,则,，故,求不定积分的几种基本方法,例15 求,解 令,，则,则有,例16 求,解 为使被积函数有理化利用三角公式,令,则它是,的单调可导函数，,具有反函数,且,求不定积分的几种基本方法,因而,例17 求,解

5、 令,则,于是,求不定积分的几种基本方法,其中,例18 求,解 被积函数的定义域为,令,，这时,故,求不定积分的几种基本方法,其中,当,时,可令,类似地可得到相同形式的结果,以上三例中所作的变换均利用了三角恒等式，称之为,三角代换，可将将被积函数中的无理因式化为三角函数,的有理因式一般地，若被积函数中含有,时，可,作代换,或,；含有,时，可作,代换,；含有,时，可作代换,求不定积分的几种基本方法,利用第二类换元法求不定积分时，还经常用到倒代换,即,等,例19 求,解 令,则,因此,当,时，,有,求不定积分的几种基本方法,当,时，,有,综合起来，得,在本节的例题中，有几个积分结果是以后经常会遇到

6、,的所以它们通常也被当作公式使用这样,常用的积分,公式，除了基本积分表中的以外，再添加下面几个(其中,常数a0).,求不定积分的几种基本方法,(14),(15),(16),(17),(18),(19),(20),求不定积分的几种基本方法,(21),例20 求,解,利用公式(18)，可得,求不定积分的几种基本方法,例21 求,解,利用公式(21)，可得,求不定积分的几种基本方法,三 分部积分法,.,一、 分部积分公式的推导,思考：,诸如此类的不定积分，用换元积分法都不能求解,特点： 被积函数是两种不同类型的函数的乘积.,需要用到求不定积分的另一种基本方法分部积分法,设函数,及,具有连续导数那么，

7、,移项，得,求不定积分的几种基本方法,对这个等式两边求不定积分，得,（5-4）,公式（5-4）称为分部积分公式.,如果积分,不易求,而积分,比较容易时,分部积分公式就可用了.,为简便起见,也可把公式（5-4）写成下面的形式:,（5-5）,现在通过例子说明如何运用这个重要公式.,求不定积分的几种基本方法,例22 求,解 由于被积函数,是两个函数的乘积,选其中一,那么另一个即为,如果选择,则,个为,得,如果选择,则,得,求不定积分的几种基本方法,上式右端的积分比原积分更不容易求出,由此可见，如果,和,选取不当，就求不出结果,所以应用分部积分法时，恰当选取,和,是关键，,一般以,比,易求出为原则,例

8、23 求,解,求不定积分的几种基本方法,例24 求,解,由上面的三个例子知道，如果被积函数是指数为正整,数的幂函数和三角函数或指数函数的乘积，就可以考虑,用分部积分法，并选择幂函数为,经过一次积分，就,可以使幂函数的次数降低一次,例25 求,解,求不定积分的几种基本方法,例26,求,解,求不定积分的几种基本方法,例27 求,解,总结上面四个例子可以知道,如果被积函数是幂函数,和反三角函数或对数函数的乘积,就可以考虑用分部积分,法,并选择反三角函数或对数函数为,一般地,如果被积函数是两类基本初等函数的乘积,在多数情况下,可按下列顺序: 反三角函数、对数函数、,幂函数、三角函数、指数函数，将排在前面的那类函,数选作,，后面的那类函数选作,求不定积

　　不定积分是微积分中的重要概念，其计算也是重要运算。在近年来的考研真题中多次出现，其多为综合性的解答题，难度多为中等难度，应该熟练掌握。而定积分也是微积分中的重要概念，定积分的性质变化多样，是我们考研中所常见的内容。有些单独成题，有些嵌入计算题之中。有些题是考查性质的结论，有些题目是考查性质条件的掌握，比较灵活多变，此类题目多见于选择题和填空题，其难度为中等难度。接下来，跨考教育数学教研室吴方方老师就为大家详细讲解积分的计算方法及注意事项。

　　关于不定积分的计算方法，我们有换元法和分部积分法。其中换元法又分为第一类换元法(凑微分)和第二类换元法。对于含有根号的积分，通常是先换元，以消去根式符号。而有些题目在用分部积分法时，要先对被积函数变形，使得运算的式子简化了，也减少了出现运算错误的可能性，倘若你做这类题不这样对被积函数进行变形，而是直接利用分部积分法计算，将使运算变得复杂化，这种情况也是考生所遇到的典型问题。

　　关于定积分，其计算方法除不定积分中的方法外，还有一些特殊情形要求我们要掌握的。比如对称区间上的定积分，我们在做这类题时，首先要先注意下其被积函数的奇偶性。

　　对于对称区间上的被积函数奇偶性来考虑题，可能大部分同学是知晓的。而有一些题目我们往往是用定积分的几何意义来简化求解的，而对用利用定积分的几何意义来做题，是相当多的学生所不知道的。除了对称区间上的以为，对于具有周期性的被积函数我们在做题时也要非常谨慎的待。

　　若 ，则有： 积分值与积分的起点和终点无关，与积分长度有关。对于这种周期函数的积分性质也是我们同学们要牢牢掌握的知识点。这样对于我们在做相关题目时会非常的方便和简单。

　　变限积分也是我们考研中常考的内容，微分学中函数的各种性态的研究都曾以可变限积分函数出现于试题中，此类试题多出现于选择题、填空题、解答题，题目难度和不定积分、定积分的难度相当都属于中等难度的试题。而对于变限积分的求导也是我们要掌握的知识点，这个属于函数求导那一块的内容，要求我们熟练的掌握各类变限积分的求导方法。

　　因此，关于一元函数积分学这一部分大都是出一些小的题型，但其内容在考研中属于很重要的地位，这就要求我们必须掌握这一部分的知识点和其各种性质。

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