λ→0和划分的小区间总数n→0的区别:n→0时,不能保证每个小区别的长度都趋于0,比如在划分区间时,让其中某一个小区间为定长区间,然后让剩下的空间划分趋于无穷大,此时,结果就有一个固定的误差值,从而得不到精确值;λ→0时则不存在此问题,可以得到精确值;
备注:定积分的求和公式中,f(ε-i)为区间[x-(i-1),x]之间的任意一点,在上式(1)中,计算小矩形面积时,该面积的长为从f(ε-i)开始的直线;
定积分与不定积分的区别及关系
定积分是一个实数,而不定积分则是一个函数集;
连续函数一定有原函数(或不定积分),且;
注:定理1和定理2为定积分存的充分条件,定积分存在的必要条件为函数有界;
由定积分的几何意义得到的一个有用的公式
定积分没有简单的,有关可积性的充分必要条件;但有充分条件;
1)在闭区间上连续的函数是可积的;
2)在闭区间上有界,且只有有限个间断点的函数是可积的;如下图,该积分可以由三个曲边梯形的面积之和得到;
3)单调有界函数f(x)永远是可积的;
梯形法和抛物线法的几何图形(a为梯形法,b为抛物线法)
定积分的计算------牛顿-莱布尼茨公式
如果函数f(x)在区间[a,b]上连续,关且存在原函数F(x),则
性质6也叫积分估值定理,几何解释为,即定积分的区域包含了小矩形m(b-a)的面积,大矩形的面积M(b-a)包含了定积分的面积;
积分中值定理的几何解释:
积分区间内总存在某一点ε,使得以ε为高,ab为边长的矩形面积等于定积分的面积,即图形中的浅蓝色区域的面积等于曲边梯形abf(x)的面积;
积分中值定理在开区间上,即ε∈(a,b)时也是成立的;
推广:积分第一中值定理
不管函数f(x)是否连续,其积分上限函数总是连续的;
(4)式也可以写成,该公式揭示了定积分与不定积分(原函数)的联系,是微积分学中最重要的定理,被称为微积分基本定理;
※牛顿-莱布尼茨公式只能用于函数的连续区间;对于有间断点的函数和分段函数,可以采用分段积分的方法;
求一个函数反函数的定积分时,如下图,可以用矩形OABC的面积减去原函数f(x)的定积分得到;
积分上(下)限函数的导数
积分下限函数,因从而得到
积分上限为函数时,积分上限函数的导数可以看成是一个复合函数;
上下限均为函数时,有;(备注:可以看成是上限和下限之和)
下题在积分过程中,积分表达式中的x应视为常数!
一般情形:,在积分时,凡与积分变量t无关的乘积因子都视为常数,可以提到积分号前面;即公式里的g(x);
换元公式时的注意事项:
上面的换元法相当于不定积分的第二类换元法,当用第一类换元法求定积分时,积分的上限和下限不变;
积分上下限需改变的第二类换元法示例:
代入积分上限得 a=asint,从而得到新的积分上限为t=π/2,代入积分下限得0=asint,从而得到新的积分下限为t=0;,全部替换后得到;
积分上限函数和不定积分的奇偶性
对于不定积分偶函数的原函数(不定积分)一般不是奇函数(只有当常数C为0时是奇函数,C不为0时是奇函数加偶函数,为非奇非偶函数);但奇函数的原函数(不定积分),则一定是偶函数(偶函数加偶函数还是偶函数);
更一般的情形:设函数f(x)在[a,b]上单调,则有
1)积分区间是有限的区间:[a,b];
2)被积函数f(x)在区间[a,b]内是有界函数;
取消这两个限制后,就得到两种反常积分;
如果以上极限存在,则称反常积分收敛,其极限值为反常积分的积分值;如果以上极限不存在,则称反常积分发散;
如果到+∞和-∞的反常积分都存在,则有;到+∞和-∞的反常积分时,如果有一个发散,则总体发散;如果两个都收敛,则总体收敛;(※发散时,极限不一定是趋于无穷大的,极限不存在时也是发散的)
一个重要的反常积分:一般性推广:;
瑕积分两边都收敛时的图形为:;
瑕积分示例:,注:和不定积分不同,当x→a时,该函数值趋向于无穷大,函数是发散的;
该示例的另一种简便解法:,先求不定积分,再用牛顿-莱布尼茨公式求解;
一些重要的无界函数的反常积分:
条件给了fx是偶函数,能直接套上下限??-a=a?
初始函数上下限是a到-a,根据定义变成-a到0,和0到a
这道题目,首先可以交换上下线,得到
,因为x=-t,代入之后积分上下线也要改变,就变成了连等式中的第二项
重新带回x,多了一个符号,移到前面去抵消,故该式成立
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令x=-t,上下限变换,因为dx=-dt,因此多了一个负号
你图中下面3个等式中间那个的写错了吧,应该没有负号,不然第二步推不到第三步,结论是对的
第二项错了呀,多了个负号