- 矩阵方程、向量方程和线性方程组拥有相同的解集
- 的计算、行-向量规则和性质
若是矩阵，它的各列为。若是中的向量，则与的积（记为）就是的各列以中对应元素为权的线性组合，即
注意仅当的列数等于中的元素个数时才有定义。
对中的，把线性组合表示为矩阵乘向量的形式。
解：把排列成矩阵，把数3，-5，7排列成向量，即
方程有形式，我们称这样的方程为矩阵方程。由定义可知，任何向量方程都可以写成等价的形式为的矩阵方程。而向量方程又和增广矩阵为的线性方程有相同的解集。
若是矩阵，它的各列为，而属于，则矩阵方程与向量方程由相同的解集。它又与增广矩阵为的线性方程组有相同的解集。
我们现在可将线性方程组用三种不同但彼此等价的观点来研究：作为矩阵方程、作为向量方程或作为线性方程组。任何情况下，矩阵方程、向量方程以及线性方程组都用相同方法来解---用行化简算法来化简增广矩阵。
方程有解当且仅当是的各列的线性组合。
设，。方程是否对一切可能的有解？
解：把的增广矩阵进行行化简：
第4列的第3个元素为。故方程并不是对一切的都相容，因为可能不为零。
上述方程并非对所有的都相容，这是因为的阶梯形含有零行。假如在所有三行都有主元，这时增广矩阵的阶梯形不可能产生如的行。
当我们说“的列生成”时，意思是说中的每个向量都是的列的线性组合。一般地，中向量集{}生成的意思是说，中的每个向量都是的线性组合，即。
设是矩阵，下列命题是逻辑上等价的，也就说，对某个\boldsymbol{A}，它们都成立或者都不成立。
- 中每个都是的列的一个线性组合。
- 在每一行都有一个主元位置。
注意：这里说的矩阵是系统矩阵，而非增广矩阵。
矩阵的第一个元素是的第一行与相应元素乘积之和（有时称为点积）。
若乘积有定义，则中的第个元素是的第行元素与的相应元素乘积之和。
若矩阵的主对角线上元素为1，其它位置上元素为0，这个矩阵称为单位矩阵，记为。有单位矩阵，记为。对任意中的， = 。
若是矩阵，和是中向量，是标量，则
