求关于两个圆柱垂直相交相交积分结果

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2023-06-16 07:05 标签： 两个圆柱垂直相交
由于标题超长了，所以标题就不放英文了。今天来讲圆柱坐标系(cylindrical coordinates)和球形坐标系(spherical coordinates)下三重积分(triple integrals)。这两种方法对某些形体（尤其是与圆弧有关）的积分尤为有效。圆柱坐标系(cylindrical coordinates)圆柱坐标系是极坐标(polar coordinates)的立体版，它在极坐标上加了一个z轴表示高度Definition: cylindrical coordinates represent a point Pin space by ordered triples
(r,\theta ,z)
in which
r\ge 0,
r and \theta
are polar coordinates for the vertical projection of P on the xy-planez is the rectangular vertical coordinate. 柱坐标(Cylindrical (r,\theta,z) )和直角坐标系(Rectangular (x,y,z))的转换满足以下方程： \begin{align} x=r\cos \theta,\quad y=r\sin\theta,\quad z=z, \\
r^2=x^2+y^2,\quad \tan\theta =y/x \end{align} 在柱坐标系下积分其实就是缝合怪，先用极坐标的方法求二重积分，再对高度积分就ok了。如果要更换积分顺序，就反解解析式就行了。我们可以写出的公式是 \iiint_Df(r,\theta,z)\ dV=\int^{\theta=\beta}_{\theta=\alpha}\int^{r=h_2(\theta)}_{r=h_1(\theta)}\int^{z=g_2(r,\theta)}_{z=g_1(r,\theta)}f(r,\theta,z)dz\ r\ dr\ d\theta. 注意更换积分顺序不能随意换，必须先考虑积分范围的变化，而且不要忘了积分中自带一个 r 。球形坐标(spherical coordinates)下积分球形坐标的是一个全新的坐标系。它的核心是利用三角比把离原点的距离拆解。因此需要两个角度和一个长度：和原直角坐标系相比，某点 P 和原点的距离是
OP|=\rho, 该连线与 z 正半轴所成角度为 \phi, 该连线在xy平面上的投影和 x 正半轴所成角度为 \theta, 如此三个信息组成一个有序数对 P(\rho ,\phi,\theta) 来表示点P（如图）。球形坐标与其他坐标系满足公式： r = \rho\sin\phi,\quad x = r\cos\theta = r\sin\phi\cos\theta, \\
z =\rho\cos\phi,\quad y = r\sin\theta = r\sin\phi\sin\theta, \\
r= \sqrt{x^2 +y^2 +z^2} =\sqrt{r^2 +z^2}.
球面坐标下的积分区域（体积）：我们把圆球分为如图的楔形(wedge)块，则一小块 \Delta V=\rho^2\sin\phi\ \Delta\rho\ \Delta\phi\ \Delta\theta (看成两个圆弧中夹着等宽度的)则黎曼和就有S_n=\sum^n_{k=1}f(\rho_k,\phi_k,\theta_k)\rho_k^2\sin\phi_k\ \Delta\rho_k\ \Delta\phi_k\ \Delta\theta_k. 而积分就是 \lim_{n\rightarrow \infty}S_n=\iiint_Df(\rho,\phi,\theta)\ dV=\iiint_Df(\rho,\phi,\theta)\rho^2\sin\phi\ d\rho\ d\phi\ d\theta. 同样地，要去找到它的上下限，如下图。Example: find the volume of the ice cream cone D cut from the solid sphere \rho\le 1 by the cone \phi = \pi /3. Since V=\iiint_D\rho^2\sin\phi\ d\rho\ d\phi\ d\theta,
f(\rho,\phi,\theta)=1. \begin{align} V&=\int^{2\pi}_{0}\int^{\pi/3}_{0}\int^{1}_{0}\rho^2\sin\phi\ d\rho\ d\phi\ d\theta \\ &=\int^{2\pi}_{0}\int^{\pi/3}_{0}\frac{1}{3}\sin\phi d\phi d\theta \\
&=\int^{2\pi}_{0}\bigg[-\frac{1}{3} \cos\phi \bigg]^{\pi/3}_{0}d\theta\\
&=\int^{2\pi}_{0}\left( -\frac{1}{6}+\frac{1}{3} \right)d\theta\\
&=\frac{\pi}{3} \end{align} 回顾：Jerry：微积分II 长方形坐标系(Rectangular Coordinate)下三重积分15.5 (21)Jerry：微积分II 极坐标(Polar Coordinate)下的二重积分15.4 (20)Jerry：微积分II 二重积分求面积&函数平均值15.3 (19)Jerry：微积分II 二重积分15.2 (18)Jerry：微积分II （长方形区域）多重积分15.1 (17)Jerry：微积分II 二元泰勒多项式14.9 (16)Jerry：微积分II 拉格朗日算子求极值14.8 (15)查看更早的文章欢迎关注我的专栏。ReferenceThomas, G., Weir, M., & Hass, J. (2014).Thomas' calculus(Thirteenth ed.).

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从X轴看过去，图形是边长为2a正方形。由其对称性，现只计算其1/8。因为形状比较规则因此可以不用多重积分。取平行于yz平面的任意截面，令参数h等于截面到xy平面的距离，则易由勾股定理得截面积为a^2-h^2。关于h积分在0到a范围内的截面积（即Integrate[a^2-h^2,{h,0,a}]得2/3*a^3，因此体积为16/3*a^3。用三维设计的软件可以轻易验证以上结果是正确的。
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