（高等数学题）判断级数常见级数的敛散性总结，已经有答案但是不理解？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2023-12-23 07:17 标签： 常见级数的敛散性总结
从我们最熟悉的p级数（\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n^p}}）到广义p级数（\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{nln^pn}}(具体参照破天学长：反常积分敛散性判别的万能公式)）,即从\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n}}到\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{nlnn}}，我们所判别的级数边界越来越精确了，为了提高无穷级数审敛法中边界级数的精度，法国数学家贝特朗给出了一个更为巧妙的精度递进式判别法，即“套娃”审敛法。给定更为广义的p级数\sum_{n=k}^{\infty}{\frac{1}{n(ln^mn)^p\prod_{i=1}^{m-1}ln^{i}n}}，(k使得每个对数均有定义即可)，当p\leq 1时，级数发散；当p>1时，级数收敛。其中，套娃对数定义如下： ln^mn:=\underbrace{ln\cdot\cdot\cdot\ ln} n\\m个ln
接下来，我们给定如下级数，并使用套娃审敛法判定级数敛散性。1.\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{6^n}{7^n-6^n}}2.\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{3^n}{n^2}}3.\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{a^nn!}{n^n}} ,(a>0)4.\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{ln^kn}},(k>0)5.\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{lnn\cdot lnlnn\cdot lnlnlnn}},(k>0)6.\sum_{n=3}^{\infty}{\frac{1}{n\cdot lnn\cdot lnlnn}}7.\sum_{n=3}^{\infty}{\frac{1}{n\cdot (lnlnn)^3}}8.\sum_{n=18}^{\infty}{\frac{1}{n\cdot lnn \cdot
(lnlnlnn)^3}}9.\sum_{n=3}^{\infty}{\frac{1}{n\cdot\sqrt[n]{n}}}10.\sum_{n=3}^{\infty}{\frac{n^{lnn}}{(lnn)^n}}1. \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{6^n}{7^n-6^n}}因其通项 u_{n}\sim \frac{1}{(\frac{7}{6})^n} ,故取 m=0 时的“套娃”审敛级数——（\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n^p}}），由比较判别法和无穷大比较（其结论如下（1）,具体可参照破天学长：无穷大的比较和应用！）可知，因 (\frac{7}{6})^n\gg n^{k} ，故级数收敛；(1)
\rightarrow ln^kn \ll n^{k} \ll a^{n} \ll n！ \ll n^{n}(其中k>0，a>1)且n! \sim \sqrt{2\pi n}\left({ n\over e}\right)^n (n\to \infty)——Stirling公式2. \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{3^n}{n^2}}因其通项 u_{n}=\frac{1}{\frac{n^2}{3^n}} ，故取 m=0 时的“套娃”审敛级数——（\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n^p}}），由比较判别法和无穷大比较，故级数发散；3. \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{a^nn!}{n^n}} ,(a>0)由（1）可知，通项 u_{n}=\frac{a^nn!}{n^n}\sim \frac{a^n\sqrt{2\pi n}(\frac{n}{e})^n}{n^n}=\frac{\sqrt{2\pi}}{e^{n(1-lna)}n^{-\frac{1}{2}}} ,故取 m=0 时的“套娃”审敛级数——（\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n^p}}），显然，a=e时， \frac{\sqrt{2\pi}}{e^{n(1-lna)}n^{-\frac{1}{2}}}\sim \frac{\sqrt{2\pi}}{n^{-\frac{1}{2}}}, 故级数发散；当 0<a<e 时，故取 m=0 时的“套娃”审敛级数——（\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n^p}}），由（1）知， \frac{1}{e^{n(1-lna)}n^{-\frac{1}{2}}}\leq \frac{1}{n^{k}}，(k>1) ，故级数收敛；当 a<e
时, \lim_{n \rightarrow \infty}{e^{n(1-lna)}n^{-\frac{1}{2}}}=0 ,故级数发散。4. \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{ln^kn}},(k>0)故取 m=0 时的“套娃”审敛级数——（\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n^p}}），由（1）可知， ln^kn\ll n ，因此，级数发散；5.\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{lnn\cdot lnlnn\cdot lnlnlnn}},(k>0)故取 m=0 时的“套娃”审敛级数——（\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n^p}}），由（1）可知， lnn\cdot lnlnn\cdot lnlnlnn\ll n ，因此，级数发散；6. \sum_{n=3}^{\infty}{\frac{1}{n\cdot lnn\cdot lnlnn}}此级数可严格按照嵌套定义可写成\sum_{n=3}^{\infty}{\frac{1}{n\cdot( ln^2n)^1\cdot lnn}},故取 m=2 时的“套娃”审敛级数，因p=1，故级数发散。7.\sum_{n=10000}^{\infty}{\frac{1}{n\cdot (lnlnn)^3}}即便不是很完整的标准形式的级数也可按照嵌套定义可写成\sum_{n=3}^{\infty}{\frac{1}{n\cdot( ln^2n)^3}},注意，由于缺少 lnn ，故取m=1时的“套娃”审敛级数，因 \frac{1}{n\cdot( ln^2n)^3}>\frac{1}{n\cdot lnn} ,故级数发散。8.\sum_{n=10000}^{\infty}{\frac{1}{n\cdot lnn \cdot
(lnlnlnn)^3}}再举一例，此级数按照嵌套定义可写成\sum_{n=3}^{\infty}{\frac{1}{n\cdot( ln^3n)^3lnn}},由于缺少 ln^2n ，故取m=2时的“套娃”审敛级数，因 \frac{1}{n\cdot( ln^3n)^3lnn}>\frac{1}{n\cdot ln^2n \cdot lnn} ,故级数发散。9.\sum_{n=3}^{\infty}{\frac{1}{n\cdot\sqrt[n]{n}}}此级数虽然无法化为标准嵌套形式，但是，仍然可用标准嵌套进行比较判别，故取m=1时的“套娃”审敛级数,有 \frac{1}{n\cdot\sqrt[n]{n}}>\frac{1}{nlnn} ,故级数发散。10.\sum_{n=3}^{\infty}{\frac{n^{lnn}}{(lnn)^n}}而当级数与其他无穷大结合时，其做法并不困难，取m=0时的“套娃”审敛级数,如此级数化简有 \frac{n^{lnn}}{(lnn)^n}=\frac{1}{e^{n\cdot ln^2n-(lnn)^2}}\sim\frac{1}{e^{n\cdot ln^2n}}\ \ll \frac{1}{e^{n}} ,故级数收敛。显然，我们永远也找不到收敛但通项趋近速度最慢的级数，但是，我们可以使用标尺审敛法找到速度更慢但收敛的级数，这就像我们令极限x趋向于0一样，我们永远也找不出来距离0最近的数，但是我们却能够找到比你任何已经找到的趋向于0的数更小趋向于0的数一样。其次，从考研数学角度来说，给出标尺审敛法的目的是因为近年来，积分判别法已被纳入考研大纲内，且针对此类题型已经出过不少真题，很多同学要不是对积分判别法不熟悉，要不是只能机械的使用积分判别法，而对于以此为基础的不能使用积分判别法的其他类似题型而束手无策，有鉴于此，特出了此篇文章，这篇文章相当于破天学长：反常积分敛散性判别的万能公式的一个深入探讨，除此之外，对于具象级数还总结有另一种更为简单的方法，我们留待下次陈述，或归纳于14课冲刺课中。

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