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展开全部这里不需要推导，利用了等价无穷小的概念。分子分母都趋向于0，极限为常数，那么分子分母就是等价无穷小已赞过已踩过你对这个回答的评价是？评论
收起展开全部小编前段时间忙了几天，一直没有更新，以后会持续更新的。我打算把整套高数更新完（上下册）。然后再更新复变函数的知识。并且在总结知识这些课程的过程中，小编也会分享一些自己阅读到的一些有趣的科普书籍。小伙伴们还有什么建议可以私信我或者在评论区留言。本篇文章要讲的是多元函数极值及其求法，主要包含三个内容：多元函数的极值、最值的应用问题、条件极值。一：多元函数的极值引入：二元函数极值的定义极大值、极小值统称为极值，使得函数取得极值的点称为极值点。例：多元函数取得极值的条件：定理一：（又称为极值的必要条件）必要条件就是指后面的可以推出前面的，在这里就是一个函数的偏导数在一点处为0，则函数在该点出必有极值。推广到三元：在这里补充一个小定义（主要是下面会用到）。驻点：定理二：（也称为极值的充分条件）充分条件就是前面可以推到后面，这里就是讲函数的偏导数满足那些条件时，极值的情况。其实我们在考试中，包括平时用到的都是这个充分条件，用来判断极值点。方法小结：第一步：求驻点第二步：判别，求二阶偏导数的各个点（主要是能把A、B、C分清）例如：解：第一步：第二步：然后用充分条件来判别。对于点1：对于点2：对于点3：对于点4：最后对此题目做一个小结即可。二：极值应用问题例子：解答：一般这种应用类的题目的话，主要问题是找到各个变量之间的关系，列方程。最后按照解题步骤解题即可。三：条件极值极值问题可分为无条件极值（对自变量只有定义域限制）和条件极值（对自变量除了定义域限制外，还有其它的条件限制）求解这类问题一般是以下两种方法：（1）带入法：这种方法是针对m(x,y)=0，可以写成y=f（x）的形式。对于x和y关系比较复杂，很难写成y=f（x）的形式时，比如开几次方之类的，就不太合适了。就会用到下面的方法：（2）拉格朗日乘数法：（证明略）按此法列出方程后，解出相应的x，y即可得到驻点。总结：这三张图片的总结就是平常我们会用到的部分，大家要掌握它们。成长的道路上，肯定会有失败；对于失败，我们要正确地看待和对待，不怕失败者，则必成功；怕失败者，则一无是处，会更失败。收起
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高中 (secx)^2-1=(tanx)^2 csc2x-1=(cotx)^2cos2x=cosx^2-sinx^2=1-(sinx)^2=(cosx)^2*2-12sinacosb=sin(a+b)-sin(a-b) 2sinasinb=cos(a-b)-cos(a+b)cosacosb=(cos(a-b)+cos(a+b))/2 sin(x+y)=sinxcosy+sinycosx cos(a+b)=cosacosb-sinasinb平面夹角 cos=i1*i2+j1*j2+k1*k2/|i1*i1+j1*j1+k1*k1|^0.5/|i2*i2+j2*j2+k2*k2|^0.5(e^(2x+y))'x=e^(2x+y)*(2cos(x-y)-sin(x-y))dx(arcsinx)'=(1-x*x)^-0.5(arctan)'=1/(1+x*x) $arctanx/(1+x*x)dx=(arctanx)^2/2(tanx)'=(secx)^2 (sec)'=secxtanx求导 带根号 x*x为正用ln|x+(x*x+a*a)^0.5 为负用arcsin不带根号 两项相加用arctan(x/a) 相减用1/2a*ln|(a+x)/(a-x)|等e^x=1+x=1+x+x*x/2=1+x+x^2/(2!)+x^n/(n!)ln(1+x)=x=x+(-1)^n*(x^n)/n(1+x)^a=1+ax=1+ax+a(a-1)/(2!)+(a*(a-1)*(a-2)...(a-n+1))/(n!)1/(1-x)=1+x+x^2+x^3+x^n(a^x)'=a^xlna (log(a,x))'=1/x/(lna)sinx=x=x-x^3/6=x-x^3/(3!)+(-1)^n*x^(2n+1)/((2n+1)!)tanx=x=x+x^3/3 arctanx=xcosx=1-x*x/2=1+x^(2n)/(2!)+(-1)^n*x^(2n)/((2n)!)(1+x)^(1/n)=1+1/nx^x=x^x*(1*lnx+x*(1/x))=x^x+x^x*lnx=e^(xlnx)a^b=e^(alnb)(e^x-1)^3=x^3Taylor:(1-x*x)^0.5=1-x*x/2(1+1/x)^0.5=1+1/2x-1/8/x/x(1+2/x)^0.5=1+1/x-1/2/x/x$xdln(x+(1+x*x)^0.5) t=(1+x*x)^0.5 =$x/(x+t)*(1+2x/2t)dx=$x/tdx=te^(tanx)=1+tanx+(tanx)^n/(n!)研cosx=1-x*x/2+4^4/(4!)arcsinx=x+x^3/6(1-cos2x)'=2sin2x|1+x*x|^-1=1-xln[(a/b)^(c/x)]=c/x*(lna-lnb)$xcos(x+y)dy=xsin(x+y)tcost=(cost+tsint)' tsint=(sint-tcost)'包含乘数求导 (ln(x*x+y*y))'=2x/(x*x+y*y) (sinxy)'=ycosxy偏导 &pz/&px=-F(x,y,z')/F(x',y,z) 全微分dz=f'(x)dx+f'(y)dy曲线在某点x0,y0,z0法线 F(xyz)分别求导为f 求完代入 法线方程F=f(x,y,z)分别求导代入得结果x0 y0 z0 (x-px)/x0=(y-py)/y0=(z-pz)/z0法平面方程 f'(x)|x0*(x-px)+f'(y)|y0*(y-py)+f'(z)|z0*(z-pz)=0函数沿方向导数 &f分别偏导再代入求值 方向L分别求cos 然后每个偏导乘cos代入极值就是x和y分别求导一次联等求驻点，再导得三个二次导结果，delta=f(xy)^2-f(xx)*f(yy)如果delta<0 f(x,y)<0是极大值，f(x,y)>0是极小值gradf(x,y)=f(f'(x),f'(y)) grad点处梯度=i&pf/&px+j&pf/&py+k&pf/&pz微分后代入点值，结果是二维坐标切平面 等式分别求导代入值 f(x)*(x-x0)+f(y)*(y-y0)+f(z)*(z-z0)=0求体积且xy对称 x*x+y*y=r*r $(0,2pi)dtheta$(0,1)dr$(r*r,1)f(x,y,z)dz-------换元积分∫ x=t*t, dx=(t*t)'/(t*t)'dx=2tdt v=y*y 2ydy=dv(a^2-x^2)^0.5,x=asint, dx=acostdt(a^2+x^2)^0.5,x=atant(x^2-a^2)^0.5,x=+-asect(0<t<pi/2)$f(x)adx=$f(x)*(x')au'/(u')dx=$f(x)a*(x)'/(u')du$tanxdx=-ln|cosx
$cotxdx=ln|sinx|$secxdx=ln|secx+tanx|dx $cscxdx=ln|cscx-cotx|dx$siny/ydx=(1-y)siny $-du/sinu=ln|cot(u/2)|$f(x^0.5)*x^-0.5dx=2$fx^0.5dx^0.5$f(1/x)/x/xdx=-$f(1/x)d(1/x)$lnxdx=xlnx-x $f(lnx)/xdx=$f(lnx)dlnx $xln(1+x*x)^0.5 or arctanx -> x=tant$(x*x+a*a)^-1dx=arctan(x/a)/a $(x*x-a*a)^-1dx=ln|(x-a)/(x+a)|/2a $(a*a-x*x)^-0.5dx=arcsin(x/a)$(bx*x+a*a)^-0.5dx=ln|x+(x*x+a*a)^0.5|*b' $(bx*x-a*a)^-0.5dx=ln|x+(x*x-a*a)^0.5|*b'$(x*x+-a*a)^0.5dx=+-(a*a/2)ln|x+(x*x+a*a)^0.5|+x/2*(x*x+-a*A)^0.5$tanx(tanx^2+1)=$tanxdtanx(tanx)^2+1=((sinx)^2+1)/cosx/cosx$cscxdx=ln|cscx-cotx
$secxdx=$sec(x+pi/2)d(x+pi/2)$x/(x+1)/(x+1)dx=ln|x+1|+1/(x+1)(1/sinx)'=cosx/sinx/sinx
$cosx/sinx/sinxdx=$1/sinxdx-fxd(x*x)=fxd(4-x*x)$((x-1)^2+4)^0.5d(x-1)=ln|x-1+((x-1)^2+4)^0.5|x=asect dx=asecttantdt $arctanxdx=xarctanx-0.5ln(1+x*x)uv'=(uv)'-u'v $udv=uv-$vdu 定 $u'vdx=u*v|-$v'udx$xcosxdx=xsinx-$sinxdx=xsinx+cosx$e^xd(x*x)=2$x(e)^xdx=2$xd(x^e)$xdsin2x=xsin2x+(cos2x)/23$x*xd(sinx/x)=3x*x*sinx/x-6$sinxdxx=sint,dx=costdt定积分 $f'(x)dx|(a,b)=f(a)-f(b)$x*x*ln(1+x)dx=1/3*$ln(x+1)dx^3$e^(2x)cos3xdx=1/2*$cos3xd(e^x)$f(x)/x/xdx=f(x)d(1/x)sinx=2tan(x/2)/(1+tan(x/2)^2) cosx=2tan(x/2)/(1-tan(x/2)^2)$1/(u*u-1)du=ln|(u-1)/(u+1)|=ln|u*u-1|-2ln(u+1)$(0,0.5)xdarcsinx=$(0,0.5)x/((1-x*x)^0.5)dx=0.5*$(0,0.5)1/((1-x*x)^0.5)d(x*x)$1/(x-a)^2+b*b, set x-a=btanu
u|<pi/2$0,x,arcsintdt=$0,x,arctantdt=$0,x,sintdt=x*x/20.5$1/(x*x-x+1)=0.5$dx/((x-0.5)^2+3/4)=1/(3^0.5)*arctan((2x-1)/(3^0.5))重积分 $(0,1)e^(-y*y)dy$(0,y)x*xdx=$(0,1)e^(-y*y)/3*x^3|(0,y)dy=1/3$(0,1)y^3e^(-y*y)dy极坐标 $$f(x,y)dxdy=$$f(rcosθ,rsinθ)rdrdt=$(a,b)dθ$(φ1(θ),φ2(θ)f(rcosθ,rsinθ)rdr二重 $(0,2pi)θdθ$(0,max(f(x,y)))f(x,y)rdr 三重 $(0,2pi)θdθ$(0,1)rdr$(min,max)f(x,y)dxdy三重积分体积 $(xmin,xmax)dx*$(ymin,ymax)dy*(zmax-zmin)曲线积分 每条线段相加 不直的就 ds=((x')^2+(y')^2)^0.5dx=(1+(dy/dx)^2)^0.5dxif y=x*x $曲线xydx=$x^3dx 两边换元到一起比如dx然后积分$(0,max(t))f(x)ds=$(0,max(t))f(x)*((x*x)'+(y*y)'+(z*z)')^0.5dt$Lf(x,y)ds=$(a,b)f(fx(t),fy(t))*((fx'(x))^0.5+(fy'(y))^0.5)^0.5dt如y=x*x ds=(1+(y')^2)^0.5dx I=$(0,1)x^2^0.5*ds=1/8$(0,1)(1+4xx)^0.5d(1+4xx)xy=1 1/2,2->1,1 $lxds=$(1,2)1/y*(1+(x')^2)^0.5dyds=(1+(y')^2)dx $f(x)(y=x(y))*dx$Lyds=$y(t)x'(t)dtGreen公式 $oPdx+Qdy=$$(Q'(x)/dx-P'(y)/dy)dxdy微分方程 dy/dx=3ln|y|=x^3+c y=e^(x^3+c)=ce^(x^3) c和e^c都是常数齐次微分 ux=y dy/dx=u+xdu/dx dy/dx=f(y/x)=ux'+xu'=u+x*du/dx=f(u)一阶线性微分 dy/dx+P(x)y=Q(x) dy/y=-P(x)dx lny=-$P(x)dx+lnC y=Ce^(-$P(x)dxy=($Q(x)e^($P(x)dx)dx+C)e^(-$P(x)dx)dy/y=-P(x)dx 两边反求导 ln|y|=-$(P(x)dx+C1 y=Ce^(-$P(x)dx) C=+/-e^C1p/p'=x->dp/p=dx/x->lnp=lnx+cy'=p y''=dp/dx=(dp/dy)*(dy/dx)=p*dp/dy 分离dp与x 积dp/p=lnp 积分=(u/v)'=(u'v-uv')/v/vy''=yx p'-p=x dp/p=dx lnp=x+lnc1 p=c1(e^x) p=u(x)*e^x p'=u'(x)*e^x+u(x)*e^x u'(x)=xe^-xy''+by'+cy=0 r*r+br+c=0 y=c1*e^(r1*x)+c2*e^(r2*x) if r1=r2 y=(c1+c2x)*e^-rx if b*b<4ac y=e^(real*x)*(c1*cos(|image|*x)+c2*sin(|image|*x))1/n发散 f(x)的发散性和f(x)^n的发散性相同|u[n]|收敛是绝对收敛 u[n]收敛而|u[n]|发散是条件收敛 (-1)^n/n 条件收敛a*q^n:
q|<1收敛 和为a/(1-q) 否则发散 1/(n^p) p>1收敛 p<=1发散 p=1调和级数幂级数
t=x-1 (x-1)^n=t^n
t|<k 1-t<k k+1<t<k-1sigma(n=0,max)a(x^n) (|x|<1)的和函数=a/(1-x)sigma(n=0,max)x^n/(n!)=e^x1/(1-x)=sigma(0)x^n 1/(1+x)=sigma(0)(-1)^n*x^n
x|<1ln(1+x)=sigma(1)(-1)^(n-1)*x^n/n 1<x<=1 ln(1-x)=-sigma(1)x^n/n -1<=x<1e^x=sigma(0)x^n/(n!) arctanx=x+(-1)^n/(2n+1)*x^(2n+1)sinx=sigma(1)(-1)^(n-1)*x^(2n-1)/(2n-1)! cosx=sigma(0)-1^n*x^2n/(2n)!1/(1+(x-a)/b)=sigma(0)(-1)^n/(b^n)*(x-a)^n (-b<|x-a|<b)Taylor展开：=sigma(f(x)导n次/n!)Euler: e^(ix)=cosx+isinxFourier间断点是左右极限平均数 a[0]=1/pi*$(-pi,pi)f(x)dxa[n]=1/pi*$(-pi,pi)f(x)cosnxdx=2/pi*$(0,pi)f(x)cosnxdx=2/npi*f(x)sinnx u'v=uv-v'ub[n]=1/pi*$(-pi,pi)f(x)sinnxdxa<=x<=a+2l a[n]=1/l*$(a,a+2l)f(x)cos(n*pi*x/l)dx b[n]=1/l*$(a,a+2l)f(x)dins(n*pi*x/l)dx