求助：高阶导数

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2022-09-25 05:32 标签： n阶导数公式大全

学习材料 * 学习材料 学习材料 * 学习材料 学习材料 * 学习材料 机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第三节 高阶导数 一、高阶导数的定义 二、高阶导数求法举例 三、小结 思考题 学习材料 * 一、高阶导数的定义 【问题】变速直线运动的加速度. 【定义】 学习材料 * 记作 三阶导数的导数称为四阶导数, 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数. 二阶导数的导数称为三阶导数, 学习材料 * 二、 高阶导数求法举例 【例1】 【解】 1.【直接法】 由高阶导数的定义逐渐求高阶导数. 又称逐阶求导法 学习材料 * 【例2】 【解】 2.【利用归纳法】 学习材料 * 利用归纳法求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合并,分析结果的规律性,写出n阶导数.(数学归纳法证明) 【例3】 【解】 【注意】 学习材料 * 【例4】 【解】 同理可得 学习材料 * 【例5】 【解】 学习材料 * 3. 利用【高阶导数的运算法则】 ——莱布尼兹公式 约定 学习材料 * 用数学归纳法可证莱布尼兹公式成立 . 【记忆方法】 将二项式定理展开，把k次幂换成k阶导数〔零阶导数理解为函数本身〕，再把左端的u+v换成 uv即得. 学习材料 * 【例6】 【解】 学习材料 * 利用已知的高阶导数公式, 通过四则 4.【间接法】 常用高阶导数公式 运算, 变量代换等方法, 求出n阶导数. 学习材料 * 【例7】 【解】 学习材料 * 一般地，假设 则y可分解成 其中A, B可用待定系数法确定. 从而可按例7的方法求y(n). 学习材料 * 【例8】 【解】 学习材料 * 三、小结 高阶导数的定义及物理意义; 高阶导数的运算法则(莱布尼兹公式); (1) 逐阶求导法 (2) 利用归纳法 (3) 间接法 —— 利用已知的高阶导数公式 高阶导数的求法： (4) 利用莱布尼兹公式 注意区分符号 和 学习材料 * 【思考题】 设 连续， 且 求 . 学习材料 * 【思考题解答】 可导 不一定存在 故用定义求 学习材料 * 【注】 学习材料 * 学习材料 * 学习材料 学习材料 * 学习材料 学习材料 * 学习材料 学习材料 * 学习材料 学习材料 * 学习材料 学习材料 * 学习材料 学习材料 * 学习材料 学习材料 * 学习材料 学习材料 * 学习材料 学习材料 * 学习材料 学习材料 * 学习材料 学习材料 学习材料 机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 学习材料 * 学习材料 学习材料 * 学习材料 学习材料 * 学习材料 学习材料 * 学习材料 学习材料 * 学习材料 学习材料 * 学习材料 学习材料 * 学习材料 学习材料 * 学习材料 学习材料 * 学习材料 学习材料 * 学习材料 学习材料 * 学习材料 学习材料 * 学习材料 学习材料 * 学习材料 学习材料 * 学习材料 学习材料 * 学习材料 学习材料 * 学习材料 学习材料 * 学习材料 学习材料 * 学习材料 学习材料 * 学习材料

希望在以后的学习中能熟练掌握高阶导数的计算方法，又快又准的拿到高阶导数计算的分数。

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　　函数的导数仍是的函数，例如，其导数，对这个函数，我们再求导数，得到的就是所谓的的二阶导数．
　　(1)称为它的一阶导数；
　　(2)一阶导数的导数称为它的二阶导数，记为 　　即，，；
　　(3)二阶导数的导数称为它的三阶导数，记为 　　(4)三阶导数的导数称为它的四阶导数，记为 　　依次类推， 阶导数就是阶导数的导数，记为 　　二阶或二阶以上的导数称为高阶导数．

　　根据定义，求高阶导数就是从一阶导数开始逐阶求导．

　　由求导法则可直接推出高阶导数的求导法则．
　　定理：设，在点处具有n阶导数，为常数，则和也在点处有n阶导数，且


　　例3.4.1　设，求，，．


　　例3.4.2　设，求，．


　　(1)　设为4次多项式，
　　　　＝（　　　）．
　　(2)　设为次多项式，其多少阶导数为常数，多少阶导数一定为0？

　　可见，四次多项式的四阶导数为常数，高于四阶的导数为零．
　　(2)由(1)可知，次多项式的阶导数为常数，高于阶的导数为零．
　　(3)函数展开后是多项式，其最高次项为，这是一个15次多项式，所以


　　例3.4.3　设，求．
　　类似可求得的阶导数为．（见教材例7，由同学们自行练习）


　　例3.4.4　设 求证：．
　　证　（诱导公式：），


　　下面的结果，考生可以作为公式记忆．


　　2005年4月有一道选择题：设，则 (　　　)
　　A.-1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.0
　　C.1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　D.2
　　2004年4月有一道选择题：设，则（　　　）
　　A.8！　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　B.－9！
　　C.－8！　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　D.9！


　　例 3.4.5　已知确定，求．
　　解　这是隐函数求二阶导数．
　　(1)　先求一阶导数．等式两边对求导得 　　解出，得．
　　(2)　求二阶导数．
　　方法1　等式两边对求导得
　　方法2　因为，所以

　　教材上的例10也是隐函数求二阶导数的题，留给同学们自己练习，不妨用两种方法都试试．
　　公式　设函数由参数方程所确定，则


　　例 3.4.6　求摆线方程 所确定函数的二阶导数．

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