如何证明证明分段函数在分段点可导某点可导？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2022-11-25 10:13 标签： 证明分段函数在分段点可导

目前有些高二的学生已经开始学习导数了，导数作为上海教改新增加的内容，有很多老师甚至是同学忐忑不安，因为导数有可能会慢慢变成上海的压轴题之一。对于导数部分，我建议就是理解好概念，打好基础，循序渐进。今天我们就浅浅解析一下导数的概念部分，如有错误，欢迎指出。

说到导数，不得不说平均变化率，什么叫做平均变化率那？物理上有一个类似的概念叫做平均速度，平均速度指的是路程差÷时间差。那么数学上如何理解那？简单来说就是函数值的差÷自变量的差所得到的值。几何意义就是曲线上割线的斜率也就是下图中PA的斜率。

对比楼上讲的概念，我们在物理上依旧可以找到相似的概念，叫做瞬时速度 ，瞬时速度指的是物体在某一时刻的速度。那么数学上也很好理解这个概念，就是函数在某一点上的斜率，也可以理解为在这个点处所做的切线。如下图所示，如果动点从左边靠近A点，称为左逼近，此时平均变化率都接近于一个定值B，那么B就称为函数在该点处的左极限，同理，如果函数从右边逼近，且平均变化率也接近与于一个定值C，那么C称为函数在该点处的右极限

如果这个动点，无论从左边逼近还是右边逼近，平均变化率B=C，也就是左极限＝右极限，我们说瞬时变化率是存在的，且瞬时变化率等于这个定值。也就是说曲线在点A处的切线斜率=B=C。

那么关键问题来了，有些分段函数或者不是平滑的曲线，左极限不一定等于右极限呀，比如下图这个↓。这种情况，我们认定为曲线在该点处，不存在切线。

前面铺垫了那么多，终于写到导数了。导数到底是啥子东西吗？简单来说就是刚才讲解的瞬时变化率。我们对原函数进行求导，所得到的新函数称之为导函数。

求导的法则和公式如下图↓

①因为导数是在定点处取到的左右极限相等，那么针对闭区间，端点处导数是不存在的，因为没有左极限或者右极限。

②若函数在开区间任意一点，均存在导数，那么称这个函数为可导函数，反之，则称为不可导函数。

③函数求导后所得到的导函数，若导函数在（A,B）这个区间大于0，可以理解为斜率大于0，也就是原函数在（A,B）这个区间递增。同理若在（B,C）区间，导函数小于0，则原函数在（B,C）这个区间递减 。

以上这些知识点只是导数的入门功法，要想更上一层楼，还得继续深耕此处。

最后在距离高考还有22天的时间里，送给所有高三一些寄语，仅当勉励诸君。

少年一贯快马扬帆，道阻且长且不转弯。要盛大要绚烂要哗然，要用理想的泰坦尼克去撞现实的冰川，要当烧赤壁的风，而非借箭的草船，要为一片海就肯翻山越岭。加油吧，少年！

我是超神胡老师，喜欢我的文章，记得点赞、关注、分享三连。

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导读：首先,函数在该点要有定义;然后,函数在该点要存在极限(即左极限要等于右极限);最后,函数在该点的极限值还必须等于函数在该点的函数值。  

1、证明一个分段函数是连续函数。  

首先看各分段函数的函数式是不是连续（这就是一般的初等函数是否连续的做法）然后看分段函数的分段点，左右极限是否相等并等于函数值。  

分段点处的左极限用左边的函数式做，分段点处的右极限用右边的函数式做。  

2、多元函数在某点处的连续性证明  

如果一个多元函数是连续的,那么一般的做法是这样：通过夹逼法,h(x)<f(x)<g(x),而h(x)与g(x)的极限又是相等的,然后通过对比f(x)在某一点的函数值,最后得出结论是否相等.而一般的。  

这种题目往往是探求在(0,0)这一点的连续性,而又往往左边h(x)是0,右边g(x)也是趋于零的.而g(x)趋于零通常又是运用基本不等式对它进行放缩最后求得极限。  

二、怎么证明函数连续可导？  

如果f是在x0处可导的函数，则f一定在x0处连续，特别地，任何可导函数一定在其定义域内每一点  

都连续。反过来并不一定。事实上，存在一个在其定义域上处处连续函数，但处处不可导。  

2、关于函数的可导导数和连续的关系：  

3、越是高阶可导函数曲线越是光滑。  

4、存在处处连续但处处不可导的函数。  

左导数和右导数存在且“相等”，才是函数在该点可导的'充要条件，不是左极限=右极限（左右极  

限都存在）。连续是函数的取值，可导是函数的变化率，当然可导是更高一个层次。  

函数在某点可导的充要条件是左右导数相等且在该点连续。显然，如果函数在区间内存在“折  

三、怎么证明函数连续可微性  

1、对于一元函数而言,可微必可导,可导必可微,这是充要条件；  

2、对于多远函数而言,可微必偏导数存在,但偏导数存在不能推出可微,而是偏导数连续才能推出可微来,这就不是充要条件了。  

注：要证明一个函数可微,必须利用定义,即全增量减去（对x的偏导数乘以x的增量）减去（对y的偏导数乘以Y的增量）之差是距离的高阶无穷小,才能说明可微  

四、怎么证明函数连续可偏导？  

1、偏导数连续证明方法：先用定义求出该点的偏导数值c，再用求导公式求出不在该点时的偏导数fx(x,y)，最后求fx(，x，y)当(x，y)趋于该点时的极限，如果limfx(x，y)=c，即偏导数连续，否则不连续。  

2、偏导数存在、函数可微、函数连续的'关系是什么：  

在一元的情况下，可导=可微->连续，可导一定连续，反之不一定。二元就不满足了在二元的情况下，偏导数存在且连续，函数可微，函数连续；偏导数不存在，函数不可微，函数不一定连续。函数可微，偏导数存在，函数连续；函数不可微，偏导数不一定存在，函数不一定连续。函数连续，偏导数不一定存在，函数不一定可微；函数不连续，偏导数不一定存在，函数不可微。  

偏导数存在并且偏导数连续==>可微==>函数连续(这里的连续是指没求导的函数)。  

注：以上所有关系倒推均不成立。  

总结：在单一的一个点上是不会有切线的，就不可能可导。可导一定连续，但连续不一定可导。例如：一个弧，在端点上只有向一个方才有切线。但他却连接着另一个方向也就是连续。  

如您还有其他独特的见解，欢迎留言一起讨论！ 

  • 在一区间内连续，就可导。 
     已知函数f(x)在x的邻域连续，且严格单调，则f(x)可导。
    如果这条行不通的话，那么，可用下面的定理：
    函数f(x),在x0处，左层数=右导数，即f' (x0)=f'-(x0)成立，则f(x)可导。

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