原标题：目标导向型资产管理中的综合风险配置框架（二） ——存在风险预算时的有效资产配置
本文共3200字左右，阅读完成预计需要15分钟左右。
后台回复“PE59”，获取文章PDF版。
南湖互联网金融学院 祝小全
为充分研究目标导向型投资问题，我们引入一个正式的连续时间框架，并表达出不同种类的投资目标，定义目标的可实现性（Attainability）为目标的可承受能力（Affordability），也正式表达出目标可承受能力的充分必要条件，以此作为实践中识别可实现目标的判断准则。然后，我们描述了各个投资模块的组成成分，也就是风险预算束（Riskbudgets）。这些风险预算束又可以融入目标导向型投资策略（Goals-Based
在Merton1971年开创性研究工作的基础上，我们在连续时间框架里探索跨期投资组合选择问题。经济体中的不确定性（Uncertainty）被表达为域流概率空间（Filteredprobabilityspace）（X,F,P），其中F是X空间（包含所有可能的结果）上的代数（本质是空间的所有子集的集合，X空间也是F中的元素，F具有完备性），P是表达投资者信念的一套概率测度。在后文中除非有特殊说明，我们默认投资期限有限期为T（比如直到退休之前有T期，或者在死亡之前有T期）。初始时点是0，由此时间区间是[0,T]。
在这个概率空间中存在d维的布朗运动z，其中d表示的是经济体中独立的风险源的个数，伴随着由布朗运动产生的域流。是空间X上的代数，表示的是投资者在t时刻可以获得所有信息的累和。我们假设下文引入的所有随机过程均是可测的。
在无穷小量表示的期限中，t时刻借款或者贷款所面临的名义短期利率记为。投资范畴包括无风险资产（局部存在的），其价格是短期利率的连续复利：
投资范畴里还包括局部风险资产，他们的价格服从Merton（1971）定义的扩散过程:
其中是夏普比率（Sharpe ratio），是dx1维波动率向量，而是一个表示波动率的标量。夏普比率和波动率均是随机的。我们定义分别是d*n维波动率矩阵、n*n维方差矩阵和n*1维风险资产超额收益向量(因为夏普比率的定义是风险资产的超额收益率/资产收益率的标准差，故即为风险资产的超额收益率)：
因为所有的运动和过程都是瞬时发生的，所以这一套连续时间框架下的理论和非无穷小量型期限下的结论有所不同。
需要重点介绍的是“状态价格平减因子”（State-pricedeflator），用来计算状态或有支付的现值。状态价格平减因子的正式定义是对于i=1, …, n，是一个非负的随机过程，平减价格是一个鞅过程。无套利条件可以确保状态价格平减因子的存在性（参见Duffie，2001）。正如He和Pearson（1991）所证明的结果，如果市场是动态不完备的，那么就会存在许多状态价格平减因子。通俗地说，如果风险源的数量（d）超过风险资产的数量（n），那么市场是不完备的，一定会存在状态价格平减因子。在所有状态价格平减因子中，有一个特例格外值得注意，即与“风险源向量的有限价格”（“Spannedpriceofriskvector”）相关的状态价格平减因子：
其中表示向量在欧几里得测度下的模长，向量为d*1维，之所以称为有限价格，是因为这个向量落在波动率矩阵的范畴内。每个定价核都与一个“等价鞅测度”相联系（Equivalent Martingale Measure，简记为EMM）。（编者注：通俗地说，Radon-Nikodym定理主要针对的是空间上不同测度之间的变换，可以把两个抽象的测度相互联系起来。这里的风险中性测度Q测度相对于另一个概率测度P是绝对连续的，那么Q测度就可以用P测度的积分来表示。）“等价鞅测度”（EMM）的定义是相对于概率测度P的Radon-Nikodym密度函数：
因为状态价格平减因子与等价鞅测度（EMM）存在一一对应关系，所以当且仅当等价鞅测度是唯一的时候，状态价格平减因子才是唯一的。此时，市场是动态完备的（编者注：动态完备是指风险源的数量与独立的风险资产的数量是相同的，风险源的通俗含义即未来可能实现的状态的个数；如果风险资产在不同状态下的收益向量在概率空间里是非共线的，那么我们称这些风险资产是“独立”的）。由此，在T时刻支付的收益在t时刻的价格，可以用两种等价的表达式得出：
这个等式遵循着贝叶斯法则（编者注：贝叶斯法则的直觉含义是，当不能准确知悉一个事物的本质时，可以依靠与事物特定本质相关的事件出现的可能去判断其本质属性的概率。用数学语言表达就是：若支持某项属性的事件发生的次数愈多，则该属性成立的可能性就愈大）。是在概率P测度下基于t期可得信息的条件期望，而是在概率Q测度下基于t期可得信息的条件期望。
投资者有正禀赋，即初始资本为，可投资于n种风险资产和一种无风险资产。如果在整个投资过程中没有外部现金注入投资组合或者没有现金流的撤回，那么我们可以说这个投资组合具备自融资（Self-financing）的性质。定义n*1维向量表示t期投资于n种风险资产的份额数，由此投资于无风险资产的份额数等于初始资本总额减去风险资产上的投资额度再除以无风险资产的价格，即：
预算约束则展现了流动性财富的瞬时演变过程：
记投资于n种风险资产的金额（注：注意与投资于风险资产的份额区分开来）为向量。与通过下式建立联系：
当资本财富为正值时，投资于某一风险资产的权重为：
值得注意的是，投资于风险资产的权重之和不一定为1，是投资于现金资产的权重。由此自融资投资策略的另一种表达方式是投资权重向量服从的随机过程，该过程在t期的取值为。
为了便于根据不同的优化原则求解最优投资策略，我们有必要将投资组合的期望收益率和波动率用投资组合的组成成分来表达。我们将等式(2)代回等式(1),替换风险资产投资额为总资本财富的动态过程，再根据进行替换，最终得到下面两个等式：
由此投资组合的期望收益率可以表达为投资权重的线性函数：
投资组合收益率的波动率可以表达为投资权重二次函数的平方根：
这些表达式因为若干原因排除了财富总额取值为负的可能。第一个原因在于财富为负意味着投资者破产，这是投资者愿意不惜代价来规避的情景；第二个原因在于理论基础使然，因为等价鞅测度的存在不仅意味着不存在套利机会，更意味着存在财富非负的约束(见Dybvig和Huang ，1988)。在进行期望收益最大化的过程中，财富取值非负这一重要约束应该时刻牢记于心中。
前述的探讨中我们没有考虑到投资者的消费，一旦引入投资者消费，等式(1)必须相应作出调整。在动态投资组合选择理论中，消费往往被刻画成一个连续时间过程，但是为了更接近现实世界，在本文的模型里我们将之刻画为一个离散过程。消费发生的一系列时点为，这些时点均处于0期和T期之间。在时点发生的消费记为，是一个可测的随机变量，以100%的概率取值非负。
一旦引入消费的概念，投资者的投资组合就不再满足自融资的性质。因为消费过程是离散的，所以资本总额的过程甚至不再是连续的过程。我们定义是t期扣除消费支出之后的财富总额，则A是一个左端取值有下限的右连续过程。左端取值的下限是指t期消费发生前的财富价值，记为。由此可知，财富总额的跳跃只发生在消费日，财富过程在两个未发生消费的时点之间是连续过程。为了推导新的预算约束，我们引入一族赫维赛德阶跃函数（Afamily
由此，含有消费的新预算约束为：
新的预算约束和原预算约束之间的差异项主要由驱动，而这一项的取值，可以简单看成当且仅当t等于时，取值为1，其他任意时点都取值为0。
对预算约束的最后一步扩展是引入收入，等价于引入负消费。为了避免符号繁琐，不失一般性，我们假设收入现金流发生的日期恰好是消费发生的日期。类似于对消费的假设，我们依然假设收入可测，由此我们得到了一般形式的预算约束：
同理，我们(5)式中是t期扣除消费支出和额外收入之后的财富总额，A是一个左端取值有下限的右连续过程，而t期消费和收入发生之前的财富价值则记为。
至此，我们利用连续时间金融理论完成了目标导向型投资理论框架的构建。
本文在充分研究目标导向型投资问题时引入了连续时间的理论框架。而在本系列的下一篇研究中，我们将在该框架里定义和表达出不同种类的投资目标并列出预算可承受型目标的充分必要条件，尽情期待！
