极限语言只能证明极限,不能求极限。对于简单函数的极限问题,可以先用观察法看出其极限,再用极限语言加以证明,但对于一些形式复杂的函数,就不太容易观察出它的极限。
因此,研究函数极限的运算法则,便十分的必要。
1、在下面的讨论中,只给出函数极限的运算法则,这些法则可相应地移植到数列极限。
2、在下面的讨论中,若下面未标明自变量的变化趋势,表明对及均成立的。
【定理一】有限个无穷小之和仍是无穷小。
【证明】考虑两个无穷小之和的情形。
设 及 均是当 时无穷小, 而 。
依无穷小的定义, 有:
这表明 是当 时的无穷小。
必须指出: 无限个无穷小之和不一定是无穷小。
【定理二】有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小。
【证明】设函数 在 的某一邻域 内有界
设 是当 时的无穷小。
依函数有界的定义,有:
依无穷小的定义, 有:
这表明, 是 时的无穷小。
【推论一】常数与无穷小的乘积是无穷小。
【推论二】有限个无穷小的乘积是无穷小。
有一个问题: 无限多个无穷小的乘积是否为无穷小呢?
表面上,这一问题的答案是显然的,即:是无穷小。 其实却不然,因为无限多个数的乘法并没有定义。即: 我们并不会作无限多个数的乘法运算。
【定理三】(极限运算的分配律)
【证明】因 , , 由极限存在与无穷小的关系定理有:
由定理2的推论1, 是无穷小,
再由定理1,是无穷小;
利用极限与无穷小的关系有
高等数学中还有许多类似的性质,为此,我们对这一性质专门给出几点注解。
(2)、若存在,不存在,则不存在。
【反证法】记 , 假设
均存在,据【定理三】有:
这与条件产生矛盾,故 不存在。
若,,则 存在,且
定理四也有与定理三完全相同的四点注解,它还有两个重要的推论。
若存在,为常数, 则 。
若 存在,为正整数,则。
若,,且,则 存在,且
对商的极限运算法则, 应注意条件:
当这两个条件中有一个不满足时, 不可使用商的极限运算法则。 这一点在初学时很容易被忽视。
必须指出:即使不等式 严格成立, 结论仍然是,不可以认为是 。
例如:、表示圆的内接、外接正n边形的面积, 而表示圆的面积。
运用上述结论,可帮助我们求大量的函数极限,大大地提高了求极限的能力,也避免了使用繁冗复杂的极限语言。当然,这些结论的获得得益于极限的精确语言。
首先,我们证明一个最基础,也最有用的结论:
设 是任意实数,则
此极限可作一般性的推广:
可对此例作一般性的推广:
设 是有理分式函数, 与 为的多项式,若
【证明】由定理5与例1, 有
对于有理分式函数,当时,不能使用商的极限法则来求极限。例题三、例题四给出了解这类问题的两种基本方法:
学会它,高等数学成绩+20
What?高数??+20???
学会它,高数成绩加不了20,算我输!
废话不多说,今天我们要讲的是函数求极限的方法。
为什么函数求极限这么重要?
极限思想贯穿于高等数学始终,比如导数的概念、定积分的概念、级数的敛散性等都要用到极限的知识。 可以说有高数的地方就有极限,你说重不重要!
下面我们来讲解一下具体求极限方法
1.利用函数的连续性求函数的极限(直接带入即可)
时的极限,只要计算对应的函数
2.利用有理化分子或分母求函数的极限
3.利用两个重要极限求函数的极限
4.利用无穷小的性质求函数的极限
性质1:有界函数与无穷小的乘积是无穷小
性质2:常数与无穷小的乘积是无穷小
性质3:有限个无穷小相加、相减及相乘仍旧无穷小
6.利用抓大头准则求函数的极限
7.利用洛必达法则求函数的极限
”型的极限计算,洛必达法则是比较简单快捷的方法。
8.利用定积分的定义求函数的极限
以上就求函数极限的方法
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